Seja an uma sequência de números reais e seja sn a sequência definida por sn=a1+a2+a3+cdots+an. Considere as afirmativas abaixo:
I-Se sn é convergente, então lim n infty an=0.
II-Se lim n infty an=0, então sn é convergente.
III - sumn=1^+infty an é convergente se, e somente se, sumn=p^+infty an, para todo p in N.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) Apenas I.
d) Apenas III.
b) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
c) I, II e III.
Dê um contra-exemplo para a(s) afirmativa(s) falsa(s) e prove a(s) verdadeira(s).

Passo 1

Neste exercício, temos uma sequência de reais an e sua soma parcial sn=sumk=1^n ak. O tema principal é convergência de sequências e séries numéricas, usando que an = sn - sn-1 e a invariância da convergência de séries sob mudança de índices.

Passo 2

Afirmativa I: Se sn converge, então limntoinftyan=0. Como an = sn - sn-1, e supondo snto S, temos
an = sn - sn-1 to S - S = 0
Logo I é verdadeira.

Passo 3

Afirmativa II: Se limntoinftyan=0, então sn converge. Aqui é falsa: basta pegar o contraexemplo clássico da série harmônica. Se an=1/n, então limntoinftyan=0, mas
sn = sumk=1^n 1k
é divergente. Portanto II é falsa.

Passo 4

Afirmativa III: A série sumn=1^inftyan converge se, e somente se, sumn=p^inftyan converge para todo pin N. Se sumn=1^inftyan=S, então a soma a partir de p é
sumn=p^inftyan = S - sumk=1^p-1ak,
que converge pois subtrai uma soma finita. Reciprocamente, se sumn=p^inftyan converge para todo p, então em particular para p=2 a soma a partir de 2 converge, e como s1=a1 é finito, a soma total também converge. Assim III é verdadeira.

Resposta

Apenas I e III.

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