Seja
uma sequência de números reais e seja
a sequência definida por
. Considere as afirmativas abaixo:
I-Se
é convergente, então
.
II-Se
, então
é convergente.
III -
é convergente se, e somente se,
, para todo
.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) Apenas I.
d) Apenas III.
b) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
c) I, II e III.
Dê um contra-exemplo para a(s) afirmativa(s) falsa(s) e prove a(s) verdadeira(s).
I-Se
II-Se
III -
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são):
a) Apenas I.
d) Apenas III.
b) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
c) I, II e III.
Dê um contra-exemplo para a(s) afirmativa(s) falsa(s) e prove a(s) verdadeira(s).
Passo 1
Neste exercício, temos uma sequência de reais
e sua soma parcial
. O tema principal é convergência de sequências e séries numéricas, usando que
e a invariância da convergência de séries sob mudança de índices.
Passo 2
Afirmativa I: Se
converge, então
. Como
, e supondo
, temos
Logo I é verdadeira.
Passo 3
Afirmativa II: Se
, então
converge. Aqui é falsa: basta pegar o contraexemplo clássico da série harmônica. Se
, então
, mas
é divergente. Portanto II é falsa.
Passo 4
Afirmativa III: A série
converge se, e somente se,
converge para todo
. Se
, então a soma a partir de
é
que converge pois subtrai uma soma finita. Reciprocamente, se
converge para todo
, então em particular para
a soma a partir de 2 converge, e como
é finito, a soma total também converge. Assim III é verdadeira.
Resposta
Apenas I e III.