Classifique a afirmação em verdadeira
ou falsa
:
(b)
ponto) [ ] A área de uma região de tipo II
pode ser calculada pela integral
(b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente sobre como calcular a área de uma região usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar essa integral para uma região do tipo II.
Passo 2
Primeiro, uma região de tipo II é aquela onde as coordenadas estão organizadas de forma que $ x $ varia entre duas funções de $ y $, ou seja, $ g_1(y) \leq x \leq g_2(y) $, e $ y $ varia entre constantes, $ c \leq y \leq d $. Isso define uma área onde, para cada valor de $ y $ entre $ c $ e $ d $, $ x $ varia entre $ g_1(y) $ e $ g_2(y) $.
Passo 3
Para calcular a área dessa região, usamos uma integral dupla. A integral interna $ \int_{g_{1}(y)}^{g_{2}(y)} 1 , dx $ calcula a “largura” da região para um valor fixo de $ y $. Multiplicando isso pela variação em $ y $, que é a integral externa $ \int_{c}^{d} $, obtemos a área total.
Passo 4
Então, a fórmula para a área de uma região de tipo II realmente é:
Isso está perfeitamente correto e segue a definição de integrais duplas para calcular áreas.
Resposta
Verdadeira (V)