Deduza a relação (e) div(v nabla u)=v De.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a regra do produto para divergência, ou seja, provar que div(v,nabla u)=v,De. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, usando definições de divergência, gradiente e laplaciano.

Passo 2

Vamos lembrar das definições em coordenadas cartesianas em R^n:
A componente i-ésima do campo vetorial v,nabla u é
(v,nabla u)i = v,partial upartial xi
O laplaciano de u é
De
E a divergência de um campo F=(F1,dots,Fn) é
divF = sumi=1^n partial Fipartial xi

Passo 3

Agora aplicamos a definição de divergência ao campo v,nabla u:
div(v,nabla u) = sumi=1^n partialpartial xil(v,partial upartial xir)
Cada termo da soma é derivada de um produto de funções v e partiali u.

Passo 4

Usando a regra do produto para derivadas parciais, temos
partialpartial xil(v,partial upartial xir) = v,partial^2 upartial xi^2 + partial upartial xi,partial vpartial xi
Substituindo isso na soma, obtemos
div(v,nabla u) = sumi=1^n l(v,partial^2 upartial xi^2 + partial upartial xi,partial vpartial xir)

Passo 5

Agora basta separar as somas:
sumi=1^n v,partial^2 upartial xi^2 = v,sumi=1^n partial^2 upartial xi^2 = v,De
sumi=1^n partial upartial xi,partial vpartial xi = nabla u cdot nabla v
Juntando os dois resultados sai a identidade desejada.

Resposta

div(v,nabla u)=v,De.

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