Deduza a relação (e)
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a regra do produto para divergência, ou seja, provar que
. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, usando definições de divergência, gradiente e laplaciano.
Passo 2
Vamos lembrar das definições em coordenadas cartesianas em
:
A componente -ésima do campo vetorial
é
A componente
O laplaciano de
é
E a divergência de um campo
é
Passo 3
Agora aplicamos a definição de divergência ao campo
:
Cada termo da soma é derivada de um produto de funções
e
.
Passo 4
Usando a regra do produto para derivadas parciais, temos
Substituindo isso na soma, obtemos
Passo 5
Agora basta separar as somas:
Juntando os dois resultados sai a identidade desejada.