Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estão fixas. A corda é posta em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Em cada um dos Problemas 1 a 4, execute os seguintes passos. Deixe L=10 e a=1 nas partes (b) a (d).
(e) Descreva o movimento da corda em algumas frases.
  1. f(x)=lr2 x / L, & 0 <= x <= L / 2, 2(L-x) / L, & L / 2

Passo 1

O enunciado pede para descrever qualitativamente o movimento de uma corda de comprimento L=10 com extremidades fixas, partindo de uma forma triangular inicial f(x) e sem velocidade inicial. O conteúdo é a equação da onda unidimensional e o que precisamos usar é a decomposição em ondas viajantes e as condições de contorno fixas.

Passo 2

Para cordas com extremidades fixas, qualquer forma inicial f(x) sem velocidade inicial se comporta como duas “ondas” iguais que saem da forma inicial: uma se propaga para a direita com velocidade a=1 e a outra para a esquerda com a mesma velocidade. Essa é a aplicação do princípio de D’Alembert.

Passo 3

A cada vez que um pulso triangular alcança uma extremidade fixa, ele se reflete com inversão de sinal (devido à condição de Dirichlet u=0 nas pontas). Como há superposição linear, durante as passagens os dois pulsos simplesmente se somam sem alterar sua forma.

Passo 4

Após reflexão, os pulsos continuam viajando até voltarem ao ponto inicial. O processo se repete indefinidamente, com período de oscilação dado por
$$
T = \tfrac{2L}{a} = \tfrac{2\cdot10}{1} = 20.$$

Resposta

O formato triangular inicial se decompõe em dois pulsos que viajam em sentidos opostos com velocidade 1. Eles alcançam as pontas em t=10, refletem invertendo o sinal e voltam, passando um pelo outro sem distorção. Depois de 20 unidades de tempo cada pulso retorna ao estado inicial, repetindo o ciclo.

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