Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estão fixas. A corda é posta em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial
. Em cada um dos Problemas 1 a 4, execute os seguintes passos. Deixe
e
nas partes (b) a (d).
(b) Plote
versus
para
e para vários valores de
entre
e
.
-
(b) Plote
Passo 1
A questão trata da equação da onda numa corda de comprimento L cujas extremidades estão fixas, sem velocidade inicial e com deslocamento inicial triangular f(x). Vamos usar separação de variáveis e série de senos para achar u(x,t) e depois plotar para L=10 e a=1.
Passo 2
A solução geral da equação da onda com u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0 e u(0,t)=u(L,t)=0 vem da expansão em séries de Fourier senoidais:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n,\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),\cos\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr)
B_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(\xi),\sin\bigl(\tfrac{n\pi\xi}{L}\bigr),d\xi
$$.
Passo 3
Para f(x) triangular (f(x)=2x/L para x≤L/2 e f(x)=2(L−x)/L para x≥L/2) calculamos B_n peça-por-peça. O resultado fechado é
o que anula todos os termos com n par e deixa apenas n ímpar. Escrevendo n=2m−1, temos
Passo 4
Substituindo L=10 e a=1, a solução fica
Passo 5
Para plotar u(x,t) versus x em [0,10] para vários t em [0,20], basta truncar a série acima (por exemplo nos primeiros 50 termos) e escolher instantes como t=0,5,10,15,20. Em software numérico (MATLAB, Python, etc) define-se um vetor x em [0,10], calcula-se u(x,t) para cada t e plota-se todas as curvas no mesmo gráfico, observando o espalhamento e reflexão da forma triangular.
Resposta
A solução para L=10 e a=1 é
Para gerar o gráfico de u(x,t) versus x para 0≤x≤10 e t em {0,5,10,15,20}, basta truncar essa série (por exemplo em 50 termos) e plotar cada curva usando um software de cálculo numérico.