Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades estão fixas. A corda é posta em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Em cada um dos Problemas 1 a 4, execute os seguintes passos. Deixe L=10 e a=1 nas partes (b) a (d).
(b) Plote u(x, t) versus x para 0 <= x <= 10 e para vários valores de t entre t=0 e t=20.
  1. f(x)=lr2 x / L, & 0 <= x <= L / 2, 2(L-x) / L, & L / 2

Passo 1

A questão trata da equação da onda numa corda de comprimento L cujas extremidades estão fixas, sem velocidade inicial e com deslocamento inicial triangular f(x). Vamos usar separação de variáveis e série de senos para achar u(x,t) e depois plotar para L=10 e a=1.

Passo 2

A solução geral da equação da onda com u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0 e u(0,t)=u(L,t)=0 vem da expansão em séries de Fourier senoidais:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty B_n,\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr),\cos\bigl(\tfrac{n\pi a t}{L}\bigr) u(x,t)=sumn=1^infty Bn,sinl(tfracnpi xLr),cosl(tfracnpi a tLr)
B_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(\xi),\sin\bigl(\tfrac{n\pi\xi}{L}\bigr),d\xi
$$.

Passo 3

Para f(x) triangular (f(x)=2x/L para x≤L/2 e f(x)=2(L−x)/L para x≥L/2) calculamos B_n peça-por-peça. O resultado fechado é
Bn=4Ln^2pi^2,sinl(tfracnpi2r)
o que anula todos os termos com n par e deixa apenas n ímpar. Escrevendo n=2m−1, temos
B2m-1=4L(2m-1)^2pi^2(-1)^m-1

Passo 4

Substituindo L=10 e a=1, a solução fica
u(x,t)=summ=1^infty 4cdot10(2m-1)^2pi^2(-1)^m-1,sinl(tfrac(2m-1)pi x10r),cosl(tfrac(2m-1)pi t10r)

Passo 5

Para plotar u(x,t) versus x em [0,10] para vários t em [0,20], basta truncar a série acima (por exemplo nos primeiros 50 termos) e escolher instantes como t=0,5,10,15,20. Em software numérico (MATLAB, Python, etc) define-se um vetor x em [0,10], calcula-se u(x,t) para cada t e plota-se todas as curvas no mesmo gráfico, observando o espalhamento e reflexão da forma triangular.

Resposta

A solução para L=10 e a=1 é
u(x,t)=summ=1^infty 40(2m-1)^2pi^2(-1)^m-1,sinl((2m-1)pi x10r),cosl((2m-1)pi t10r)
Para gerar o gráfico de u(x,t) versus x para 0≤x≤10 e t em {0,5,10,15,20}, basta truncar essa série (por exemplo em 50 termos) e plotar cada curva usando um software de cálculo numérico.

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