Classifique a afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) :
(e) (0,6 ponto) [ ] A mudança de variáveis lx=e^u-v y=e^u+v z=e^u+v+w possui Jacobiano dado por partial(x, y, z)partial(u, v, w)=e^2 u(e^u+v+w+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma afirmação sobre o Jacobiano de uma mudança de variáveis é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui envolve cálculo de determinantes de matrizes, especificamente o Jacobiano, que é fundamental quando fazemos trocas de variáveis em funções múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz Jacobiana da transformação dada e comparar com o valor fornecido na afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que foi dada:
x = e^u - v y = e^u + v z = e^u + v + w
Para encontrar o Jacobiano, precisamos calcular as derivadas parciais de x, y e z em relação a u, v e w.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Para x = e^u - v:
    partial xpartial u = e^u - v, partial xpartial v = -e^u - v, partial xpartial w = 0
  • Para y = e^u + v:
    partial ypartial u = e^u + v, partial ypartial v = e^u + v, partial ypartial w = 0
  • Para z = e^u + v + w:
    partial zpartial u = e^u + v + w, partial zpartial v = e^u + v + w, partial zpartial w = e^u + v + w

Passo 4

Agora, montamos a matriz Jacobiana com essas derivadas:
J = e^u - v & -e^u - v & 0 e^u + v & e^u + v & 0 e^u + v + w & e^u + v + w & e^u + v + w
Para encontrar o determinante desse jacobiano, usamos a fórmula do determinante para matrizes 3x3:
det(J) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c são os elementos da primeira linha, d, e, f da segunda e g, h, i da terceira.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula:
a &= e^u - v, b = -e^u - v, c = 0 d &= e^u + v, e = e^u + v, f = 0 g &= e^u + v + w, h = e^u + v + w, i = e^u + v + w
Calculando cada parte:
ei - fh &= e^u + v cdot e^u + v + w - 0 = e^2u + 2v + w di - fg &= e^u + v cdot e^u + v + w - 0 = e^2u + 2v + w dh - eg &= e^u + v cdot e^u + v + w - e^u + v cdot e^u + v + w = 0
Então:
det(J) = e^u - v cdot e^2u + 2v + w - (-e^u - v) cdot e^2u + 2v + w + 0 = 2e^3u + v + w

Passo 6

Agora, vamos comparar o determinante que calculamos com o que foi dado na afirmação:
Resu
Afirmação = e^2u ( e^u + v + w + 1 ) = e^3u + v + w + e^2u çã
Claramente, 2e^3u + v + w neq e^3u + v + w + e^2u, a menos que e^2u = e^3u + v + w, o que não é o caso geral.

Resposta

F (Falsa)

Exercícios relacionados