Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui! O enunciado pede para calcular a integral , onde é o retângulo definido por variando de a e variando de a . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas, volumes e outras grandezas em duas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla sobre um retângulo e como integrar termos simples nesses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla de maneira mais detalhada, separando os limites de integração para e . A região é um retângulo, então podemos expressar a integral como uma iterada:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A soma dentro da integral pode ser dividida em três integrais separadas graças à propriedade da linearidade das integrais. Ou seja:
Isso facilita muito a nossa vida, já que podemos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas integrais internas:
Integral de 2 em relação a :
Integral de x^2 em relação a y:
Como x^2 não depende de y, podemos tratar como uma constante: