Calcule a integral integral duplaR 2+x^2+(y-2)^2 d A, para o retângulo R=[-1,1] times[0,4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui! O enunciado pede para calcular a integral integral duplaR (2 + x^2 + (y-2)^2) , dA, onde R é o retângulo definido por x variando de -1 a 1 e y variando de 0 a 4. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas, volumes e outras grandezas em duas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla sobre um retângulo e como integrar termos simples nesses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla de maneira mais detalhada, separando os limites de integração para x e y. A região R é um retângulo, então podemos expressar a integral como uma iterada:
integralx=-1^1 integraly=0^4 (2 + x^2 + (y - 2)^2) , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a y de 0 a 4, e depois em relação a x de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A soma dentro da integral pode ser dividida em três integrais separadas graças à propriedade da linearidade das integrais. Ou seja:
integralx=-1^1 [ integraly=0^4 2 , dy + integraly=0^4 x^2 , dy + integraly=0^4 (y - 2)^2 , dy ] dx
Isso facilita muito a nossa vida, já que podemos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais internas:
  1. Integral de 2 em relação a y:
integral0^4 2 , dy = 2y |0^4 = 2 times 4 - 2 times 0 = 8
  1. Integral de x^2 em relação a y:
Como x^2 não depende de y, podemos tratar como uma constante:
integral0^4 x^2 , dy = x^2 times (4 - 0) = 4x^2
  1. Integral de (y - 2)^2 em relação a y:
Aqui, vamos expandir o termo para facilitar:
integral0^4 (y - 2)^2 , dy = integral0^4 (y^2 - 4y + 4) , dy = ( y^33 - 2y^2 + 4y ) |0^4
Calculando:
( 4^33 - 2 times 4^2 + 4 times 4 ) - ( 0 - 0 + 0 ) = ( 643 - 32 + 16 ) = 643 - 16 = 64 - 483 = 163

Passo 5

Agora, substituímos os resultados das integrais internas de volta na expressão original:
integralx=-1^1 (8 + 4x^2 + 163) dx = integral-1^1 (4x^2 + 403) dx
Aqui, somamos os termos constantes: 8 + 163 = 243 + 163 = 403.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral-1^1 4x^2 , dx + integral-1^1 403 , dx
Calculando cada parte separadamente:
  1. Integral de 4x^2:
4 integral-1^1 x^2 , dx = 4 ( x^33 |-1^1 ) = 4 ( 13 - ( -13 ) ) = 4 times 23 = 83
  1. Integral de 403:
403 integral-1^1 , dx = 403 times (1 - (-1)) = 403 times 2 = 803

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
83 + 803 = 883

Resposta

A integral dupla vale dfrac883.

Exercícios relacionados