Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), e seja x=\left(x_{1}, x_{2}\right)^{T} uma matriz coluna. Neste caso, temos que a equação (A B) x=(2,2)^{T} tem infinitas soluções;
A incógnita coluna \,x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\,.
A afirmação a ser classificada é: “A equação (AB)x=(2,2)^{T} tem infinitas soluções.”
Vou listar o que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Também tenho os dados numéricos acima que vou usar diretamente.]
Passo 2
Primeiro calculemos o produto \,AB. Multiplicando linha por coluna:
Isto significa que as linhas (ou colunas) não são linearmente independentes, logo a matriz \,AB tem posto (rank) igual a \,1.
Breve explicação didática: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para um sistema linear \,Mx=b, a existência e o número de soluções dependem do posto de M e do posto da matriz aumentada [M\mid b].
Passo 4
Vamos analisar a consistência do sistema (AB)x=(2,2)^{T} formando a matriz aumentada e reduzindo:
portanto \operatorname{rank}(AB)<\operatorname{rank}([AB\mid b]), condição clássica que implica ausência de soluções.
Explicação extra e útil para a prova: quando \operatorname{rank}(M)=\operatorname{rank}([M\mid b]) e esse posto é menor que o número de incógnitas n, há infinitas soluções; quando os postos são iguais e igual a n há solução única; quando os postos diferem (como aqui) o sistema não tem solução.
Passo 6
Como o sistema não tem solução, a afirmação “tem infinitas soluções” é falsa.