Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), e seja x=\left(x_{1}, x_{2}\right)^{T} uma matriz coluna. Neste caso, temos que a equação (A B) x=(2,2)^{T} tem infinitas soluções;

Passo 1

O enunciado fornece:
  • As matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
  • A incógnita coluna \,x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}\,.
    A afirmação a ser classificada é: “A equação (AB)x=(2,2)^{T} tem infinitas soluções.”
    Vou listar o que é pedido: decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Também tenho os dados numéricos acima que vou usar diretamente.]

Passo 2

Primeiro calculemos o produto \,AB. Multiplicando linha por coluna:
AB= \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 0 & 1\cdot 0 + 2\cdot 2\\[6pt] 2\cdot 1 + 4\cdot 0 & 2\cdot 0 + 4\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4\\[4pt] 2 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Observe uma propriedade simples das linhas de \,AB: a segunda linha é o dobro da primeira linha, porque
\begin{pmatrix}2 & 8\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1 & 4\end{pmatrix}.
Isto significa que as linhas (ou colunas) não são linearmente independentes, logo a matriz \,AB tem posto (rank) igual a \,1.
Breve explicação didática: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para um sistema linear \,Mx=b, a existência e o número de soluções dependem do posto de M e do posto da matriz aumentada [M\mid b].

Passo 4

Vamos analisar a consistência do sistema (AB)x=(2,2)^{T} formando a matriz aumentada e reduzindo:
\left[\;AB\mid b\;\right] = \left[\; \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]2 & 8\end{pmatrix} \;\middle|\; \begin{pmatrix}2\\[4pt]2\end{pmatrix} \;\right] = \begin{pmatrix} 1 & 4 & \vline & 2\\[4pt] 2 & 8 & \vline & 2 \end{pmatrix}.
Faço a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}:
\begin{pmatrix} 1 & 4 & \vline & 2\\[4pt] 0 & 0 & \vline & -2 \end{pmatrix}.
A segunda linha corresponde à equação 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=-2, ou seja 0=-2, que é uma contradição.]

Passo 5

Dessa contradição segue que o sistema é inconsistente: não existe nenhum vetor x que satisfaça (AB)x=(2,2)^{T}. Em termos de postos, temos
\operatorname{rank}(AB)=1,\qquad \operatorname{rank}\big([AB\mid b]\big)=2,
portanto \operatorname{rank}(AB)<\operatorname{rank}([AB\mid b]), condição clássica que implica ausência de soluções.
Explicação extra e útil para a prova: quando \operatorname{rank}(M)=\operatorname{rank}([M\mid b]) e esse posto é menor que o número de incógnitas n, há infinitas soluções; quando os postos são iguais e igual a n há solução única; quando os postos diferem (como aqui) o sistema não tem solução.

Passo 6

Como o sistema não tem solução, a afirmação “tem infinitas soluções” é falsa.

Resposta

Falso

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