Classifique as afirmações abaixo segundo a sua veracidade:
Considere as equações \sum_{k=1}^{2} k x_{k}=1 e \sum_{k=1}^{2} k^{2} x_{k}=2. Então, x_{1}=x_{2}=1 é solução do sistema formado por estas equações;

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações envolvendo x_1 e x_2:
\sum_{k=1}^{2} k x_{k}=1
\sum_{k=1}^{2} k^{2} x_{k}=2
Escrevendo explicitamente, as equações são:
x_{1}+2x_{2}=1
x_{1}+4x_{2}=2
A afirmação a ser classificada é: " \,x_{1}=x_{2}=1\, é solução do sistema formado por estas equações." Ou seja, precisamos decidir se o par \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=(1,1) satisfaz ambas as equações.

Passo 2

O que significa ser solução de um sistema linear? Significa que, ao substituir os valores propostos nas incógnitas, ambas (todas) as igualdades do sistema ficam verdadeiras. Então o procedimento é simples: substituir \,x_{1}=1 e \,x_{2}=1 nas duas equações e verificar se as igualdades se mantêm.

Passo 3

Substituindo \,x_{1}=1 e \,x_{2}=1 na primeira equação \,x_{1}+2x_{2}=1:
1 + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.
Comparando com o lado direito da equação, que é 1, vemos que
3 \neq 1.
Portanto o par (1,1) não satisfaz a primeira equação, logo não é solução do sistema. Uma falha já basta para concluir que a afirmação é falsa.

Passo 4

Para ficar completo, também verifico a segunda equação \,x_{1}+4x_{2}=2 com os mesmos valores:
1 + 4\cdot 1 = 1 + 4 = 5,
e 5 \neq 2. Também não satisfaz a segunda equação, reforçando que (1,1) não é solução.

Passo 5

Agora, como aprendizagem extra (para saber qual é a solução correta do sistema), resolvo o sistema por eliminação — método útil e rápido em provas:
Começo com as duas equações escritas de forma conveniente:
x_{1}+2x_{2}=1
x_{1}+4x_{2}=2
Subtraio a primeira da segunda (isso elimina x_{1}):
(x_{1}+4x_{2})-(x_{1}+2x_{2}) = 2-1
o que dá
2x_{2}=1.
Logo
x_{2}=\tfrac{1}{2}.
Substituo esse valor na primeira equação para achar x_{1}:
x_{1}+2\cdot \tfrac{1}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}+1=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.
Portanto a solução correta do sistema é \,x_{1}=0 e \,x_{2}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

Falsa — a solução do sistema é x_{1}=0,\;x_{2}=\tfrac{1}{2}.

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