Justifique a seguinte regra. Para calcular \vec{x}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, tome um representante (A, B) de \vec{u}, um representante (B,C) de \vec{v}, um representante (C,D) de \vec{w}. Entāo \vec{x} tem como representante (A, D). (Intuitivamente falando, “fecha-se o polígono”.) Raciocinando por indução finita, pode-se generalizar essa regra para n parcelas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se justificar a regra: “Sejam (A,B) representante de \vec{u}, (B,C) representante de \vec{v} e (C,D) representante de \vec{w}. Então \vec{x}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} tem como representante (A,D).”
  • Também menciona que a regra se generaliza por indução finita para n parcelas (fechar o polígono).
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • Um "representante (P,Q) de \vec{a}" significa o segmento orientado \overrightarrow{PQ} que pertence à classe de vetores com mesma direção, sentido e módulo de \vec{a}.
  • A adição de vetores obedece à regra geométrica “cabeça com rabo” (head-to-tail) que o enunciado quer justificar formalmente.
  • Podemos usar um sistema de coordenadas ou posições vetoriais para formalizar a prova (isso é permitido e facilita a justificativa).

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar e sem jargão):
  • Definição de representante e de vetor como classe de equivalência: o vetor \vec{a} pode ser representado por qualquer segmento orientado \overrightarrow{PQ} cuja direção, sentido e comprimento coincidem com \vec{a}. Escrevemos isso também como " (P,Q) representa \vec{a}" ou \overrightarrow{PQ}=\vec{a} quando não há ambiguidade.
  • Posição vetorial de um ponto: escolha um ponto origem O. Associamos a cada ponto X um vetor posição \vec{x} que vai de O a X: \vec{x}=\overrightarrow{OX}. Isso transforma pontos em vetores (isto é apenas uma convenção útil).
  • Relação entre segmentos orientados e vetores posição: para quaisquer pontos P,Q vale \overrightarrow{PQ}=\vec{q}-\vec{p},onde \vec{p}=\overrightarrow{OP} e \vec{q}=\overrightarrow{OQ}. Aqui \vec{q}-\vec{p} é a diferença entre vetores posição (interprete como "ir de P a Q" = "ir de O a Q" menos "ir de O a P").
  • Propriedade importante (que vamos provar com contas simples): se \overrightarrow{AB}=\vec{u} e \overrightarrow{BC}=\vec{v}, então \vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AC}.Essa é a versão de duas parcelas da regra “fechar o triângulo”.
Vou agora mostrar por que essas fórmulas são verdadeiras, de forma direta e compreensível.

Passo 3

Prova algébrica (usando vetores posição) do caso de duas parcelas: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
  • Escolha uma origem O e escreva as posições:
    \vec{a}=\overrightarrow{OA}, \vec{b}=\overrightarrow{OB}, \vec{c}=\overrightarrow{OC}.
  • Pela relação entre segmentos e posições: \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a},\qquad \overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}.
  • Some esses dois vetores: \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{b}).
  • Reorganize e cancele \vec{b}: (\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{b})=\vec{c}-\vec{a}.
  • Reconheça \vec{c}-\vec{a} como \overrightarrow{AC} (pela mesma relação). Logo \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},que é exatamente a afirmação geométrica: ir de A a B e depois de B a C é o mesmo que ir de A a C.
Comentário intuitivo: na soma a componente \vec{b} aparece com sinal + e com sinal -, e se cancelam — é o “fechamento” que transforma o caminho em um só segmento.

Passo 4

Extensão imediata para três parcelas (caso do enunciado) usando telescopia:
  • Usando o resultado do passo anterior para os dois primeiros vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC}, temos \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
  • Some agora \overrightarrow{CD} a ambos os lados: (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}.
  • Pela propriedade de duas parcelas aplicada a A\to C e C\to D (a mesma que já provamos), \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
  • Portanto \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}.
Isto prova formalmente a regra pedida: se (A,B), (B,C), (C,D) representam \vec{u},\vec{v},\vec{w} então um representante de \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} é (A,D).
Geométricamente: os segmentos internos AB,BC,CD “se cancelam” nas junções, restando só o segmento de A até D — o polígono fecha.

Passo 5

Generalização por indução finita para n parcelas (fechar um polígono com n arestas):
  • Enuncie claramente o que queremos provar: sejam pontos A_0,A_1,\dots,A_n. Então \overrightarrow{A_0A_1}+\overrightarrow{A_1A_2}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_0A_n}.
  • Base da indução ( n=1): trivialmente \overrightarrow{A_0A_1}=\overrightarrow{A_0A_1}.
  • Passo indutivo: suponha verdadeiro para n=k, ou seja \sum_{i=1}^{k}\overrightarrow{A_{i-1}A_i}=\overrightarrow{A_0A_k}.Adicionando \overrightarrow{A_kA_{k+1}} a ambos os lados: \sum_{i=1}^{k+1}\overrightarrow{A_{i-1}A_i}=\overrightarrow{A_0A_k}+\overrightarrow{A_kA_{k+1}}.Aplicando a propriedade já provada de duas parcelas ao lado direito: \overrightarrow{A_0A_k}+\overrightarrow{A_kA_{k+1}}=\overrightarrow{A_0A_{k+1}}.Logo a fórmula vale para n=k+1.
  • Conclusão por indução: a igualdade vale para todo inteiro n\ge1. Isso é exatamente a generalização desejada: somar vetores seguindo cabeça-com-rabo fecha o polígono e dá o vetor que liga o primeiro ponto ao último.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para ficar mais concreto):
  • Tome pontos em coordenadas: A=(0,0), B=(1,2), C=(3,4), D=(5,1). Em vetores posição (em relação à origem O=(0,0)) escrevemos \vec{a}=(0,0), \vec{b}=(1,2), \vec{c}=(3,4), \vec{d}=(5,1).
  • Então \overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(1,2),
\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}=(2,2),
\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}=(2,-3).
  • Soma: (1,2)+(2,2)+(2,-3)=(1+2+2,\;2+2-3)=(5,1).
  • Compare com \overrightarrow{AD}=\vec{d}-\vec{a}=(5,1). Coincidem, como previsto.

Resposta

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{A_{i-1}A_i}=\overrightarrow{A_0A_n}

Exercícios relacionados