Q15: Seja p(x)=-4-2 x+17 x^{2} e \beta=\left\{2+2 x-4 x^{2}, \quad 2+3 x-x^{2}, \quad-2-4 x-3 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) -3
(C) 1
(D) -2
(E) 2
(F) 4
(G) -1
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = -4 - 2x + 17x^{2}
e a base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2:
\beta = \{\,2+2x-4x^{2},\quad 2+3x-x^{2},\quad -2-4x-3x^{2}\,\}.
Pede-se: se as coordenadas de p na base \beta são [p]_{\beta}=(a,b,c), calcule o valor de c.

Passo 2

Ideia do método (passo a passo prático). Queremos escrever p como combinação linear dos vetores da base \beta:
p = a(2+2x-4x^{2}) + b(2+3x-x^{2}) + c(-2-4x-3x^{2}).
Isso significa que os coeficientes do polinômio p nas potências 1,x,x^{2} devem coincidir com os coeficientes obtidos na combinação linear. Vamos igualar coeficiente a coeficiente para obter um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Escrevendo as coordenadas em relação à base padrão \{1,x,x^{2}\}:
  • p tem coordenadas (-4,\,-2,\,17) correspondentes a termos constantes, de x e de x^{2}.
  • Os vetores da base \beta têm coordenadas v_{1}=(2,\,2,\,-4),\qquad v_{2}=(2,\,3,\,-1),\qquad v_{3}=(-2,\,-4,\,-3).
Igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} 2a + 2b -2c = -4,\\[4pt] 2a + 3b -4c = -2,\\[4pt] -4a - b -3c = 17. \end{cases}]

Passo 4

Começamos a resolver o sistema por eliminação. Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar a:
(2a+3b-4c)-(2a+2b-2c)= -2 -(-4)
o que dá
b - 2c = 2.
Logo
b = 2 + 2c. \tag{1}

Passo 5

Agora expressamos a em função de b e c usando a primeira equação. Da primeira equação:
2a = -4 -2b + 2c,
portanto
a = -2 - b + c.
Substituindo (1) em a:
a = -2 - (2+2c) + c = -4 - c. \tag{2}

Passo 6

Substituímos (1) e (2) na terceira equação -4a - b -3c = 17. Usando a = -4 - c e b = 2+2c:
-4(-4 - c) - (2+2c) - 3c = 17.

Passo 7

Calculando passo a passo a expressão anterior:
-4(-4 - c) = 16 + 4c,
então
16 + 4c - 2 - 2c - 3c = 17.
Agrupando termos:
14 - c = 17.
Isolando c:
-c = 3 \quad\Rightarrow\quad c = -3.

Resposta

(B) -3

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