Q15: Seja p(x)=-4-2 x+17 x^{2} e \beta=\left\{2+2 x-4 x^{2}, \quad 2+3 x-x^{2}, \quad-2-4 x-3 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) -3
(C) 1
(D) -2
(E) 2
(F) 4
(G) -1
(H) 3
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
p(x) = -4 - 2x + 17x^{2}
e a base \beta do espaço dos polinômios de grau até 2:
Pede-se: se as coordenadas de p na base \beta são [p]_{\beta}=(a,b,c), calcule o valor de c.
Passo 2
Ideia do método (passo a passo prático). Queremos escrever p como combinação linear dos vetores da base \beta:
p = a(2+2x-4x^{2}) + b(2+3x-x^{2}) + c(-2-4x-3x^{2}).
Isso significa que os coeficientes do polinômio p nas potências 1,x,x^{2} devem coincidir com os coeficientes obtidos na combinação linear. Vamos igualar coeficiente a coeficiente para obter um sistema linear para a,b,c.
Passo 3
Escrevendo as coordenadas em relação à base padrão \{1,x,x^{2}\}:
p tem coordenadas (-4,\,-2,\,17) correspondentes a termos constantes, de x e de x^{2}.
Os vetores da base \beta têm coordenadasv_{1}=(2,\,2,\,-4),\qquad v_{2}=(2,\,3,\,-1),\qquad v_{3}=(-2,\,-4,\,-3).