Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n} \geq 0, \forall n, então \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} converge;
(b) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge;
(c) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge, então \sum_{n=100}^{+\infty} a_{n} converge;
(d) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) converge;
(e) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge, então \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=L \neq 0;
(f) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}{ }^{2} diverge;
(g) ( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge e a_{n} \neq 0, \forall n \geq 1, então \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_{n}} converge;
(h) ( ) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência constante, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge;
(i) ( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0 e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} diverge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.
(j) ( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado pede para classificar dez afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras (V) ou falsas (F), usando definições de convergência/divergência de séries, testes de comparação, comportamento de termos, e fornecendo contraexemplos quando falso ou demonstrações rápidas quando verdadeiro.

Passo 2

(a) Falsa. Contraexemplo: tome a_{n}=\frac{1}{n^{2}}, então \sum a_{n} converge (série p-com p=2) e a_{n}\ge0, mas \sqrt{a_{n}}=\frac{1}{n} e \sum\frac{1}{n} diverge (série harmônica).

Passo 3

(b) Falsa. Contraexemplo: sejam
a_{n}=(-1)^{n},\quad b_{n}=(-1)^{n+1}.
Ambas as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} divergem (os termos não tendem a zero), mas
a_{n}+b_{n}=0,\quad\text{logo}\quad \sum(a_{n}+b_{n})=0\;\text{converge}.

Passo 4

(c) Verdadeira. Se \sum_{n=1}^\infty a_{n} converge, então os somatórios parciais
S_N=\sum_{n=1}^N a_{n}
tendem a um limite S. Para \sum_{n=100}^\infty a_{n} basta notar que
\sum_{n=100}^N a_{n}=S_N - S_{99},
e como S_{99} é fixo e S_N\to S, a nova série também converge.

Passo 5

(d) Falsa. Contraexemplo clássico: a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}. As duas séries divergem (harmônicas), mas
a_{n}b_{n}=\frac{1}{n^{2}},
e \sum\frac{1}{n^{2}} converge.

Passo 6

(e) Falsa. O divergente de uma série não impõe que seus termos tendam a um limite não nulo; ao contrário, para qualquer série convergente ou divergente de termos a_{n}, se \sum a_n diverge pode ainda ocorrer \lim a_n=0. Exemplo: a_{n}=\frac{1}{n} tem \lim a_{n}=0 mas \sum\frac{1}{n} diverge.

Passo 7

(f) Falsa. Contraexemplo: a_{n}=\frac{1}{n}. Então \sum a_{n} diverge, mas
a_{n}^{2}=\frac{1}{n^{2}}
e \sum\frac{1}{n^{2}} converge.

Passo 8

(g) Falsa. Contraexemplo: a_{n}=\frac{1}{n} diverge, a_{n}\neq0, mas
\frac{1}{a_{n}}=n,
e \sum n claramente diverge, não converge.

Passo 9

(h) Falsa. Se \left(a_{n}\right) é constante igual a zero, a_{n}=0, então \sum a_{n}=0 converge. Somente se a_{n}=c\neq0 a série diverge, mas a afirmação diz “qualquer constante”, logo é falsa.

Passo 10

(i) Falsa. Contraexemplo: seja b_{n}=\frac{1}{n} (diverge) e a_{n}=\frac{1}{n^{2}}. Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n^{2}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,
mas \sum a_{n}=\sum\frac{1}{n^{2}} converge.

Passo 11

(j) Falsa. Contraexemplo: seja b_{n}=\frac{1}{n^{2}} (converge) e a_{n}=\frac{1}{n}. Então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/n^{2}} =\lim_{n\to\infty}n=+\infty,
mas \sum a_{n}=\sum\frac{1}{n} diverge.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) F
(i) F
(j) F

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