Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (
) ou falsa (
) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
converge e
, então
converge;
(b) ( ) Se
e
divergem, então
diverge;
(c) ( ) Se
converge, então
converge;
(d) ( ) Se
e
divergem, então
converge;
(e) ( ) Se
diverge, então
;
(f) ( ) Se
diverge, então
diverge;
(g) ( ) Se
diverge e
, então
converge;
(h) ( ) Se
é uma sequência constante, então
diverge;
(i) ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
(j) ( ) Se
e
converge, então
converge.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
(c) ( ) Se
(d) ( ) Se
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
(h) ( ) Se
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar dez afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras (V) ou falsas (F), usando definições de convergência/divergência de séries, testes de comparação, comportamento de termos, e fornecendo contraexemplos quando falso ou demonstrações rápidas quando verdadeiro.
Passo 2
(a) Falsa. Contraexemplo: tome
, então
converge (série
-com
) e
, mas
e
diverge (série harmônica).
Passo 3
(b) Falsa. Contraexemplo: sejam
Ambas as séries
e
divergem (os termos não tendem a zero), mas
Passo 4
(c) Verdadeira. Se
converge, então os somatórios parciais
tendem a um limite
. Para
basta notar que
e como
é fixo e
, a nova série também converge.
Passo 5
(d) Falsa. Contraexemplo clássico:
. As duas séries divergem (harmônicas), mas
e
converge.
Passo 6
(e) Falsa. O divergente de uma série não impõe que seus termos tendam a um limite não nulo; ao contrário, para qualquer série convergente ou divergente de termos
, se
diverge pode ainda ocorrer
. Exemplo:
tem
mas
diverge.
Passo 7
(f) Falsa. Contraexemplo:
. Então
diverge, mas
e
converge.
Passo 8
(g) Falsa. Contraexemplo:
diverge,
, mas
e
claramente diverge, não converge.
Passo 9
(h) Falsa. Se
é constante igual a zero,
, então
converge. Somente se
a série diverge, mas a afirmação diz “qualquer constante”, logo é falsa.
Passo 10
(i) Falsa. Contraexemplo: seja
(diverge) e
. Então
mas
converge.
Passo 11
(j) Falsa. Contraexemplo: seja
(converge) e
. Então
mas
diverge.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) F
(i) F
(j) F
(b) F
(c) V
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) F
(i) F
(j) F