Verifique se a série é convergente:
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n}{\ln n}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o primeiro teste que sempre podemos usar é o teste necessário de convergência, que diz que, se a série
\sum a_n converge, então necessariamente
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral
a_n = \frac{n}{\ln n}.
Para aplicar o teste necessário de convergência, calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln n}.
Como o numerador cresce muito mais rápido que o denominador logarítmico, esse limite é infinito:
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln n} = +\infty \neq 0.

Passo 3

Pelo teste necessário de convergência, se \lim_{n\to\infty}a_n \neq 0, a série
\sum a_n não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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