Verifique se a série é convergente:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e soma de séries geométricas. Vamos usar a linearidade da soma e reconhecer séries geométricas.

Passo 2

Separamos a série em duas partes:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}.
Cada uma é uma série geométrica (a primeira com razão 1/3, a segunda com razão -1/3).

Passo 3

Verificamos a convergência de cada série geométrica:
– Para \sum_{n=1}^{\infty}3/3^{n}, a razão é r=1/3 com \lvert r\rvert<1, logo converge.
– Para \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}/3^{n}, a razão é r=-1/3 com \lvert r\rvert<1, logo também converge.
Como ambas convergem, a série original converge (na verdade, absolutamente).

Passo 4

Calculamos as somas:
Para a primeira,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n} =3\cdot\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} =3\cdot\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} =\frac{3}{2}.
Para a segunda,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)^{n} =\frac{-\frac{1}{3}}{1-(-\frac{1}{3})} =\frac{-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}} =\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} =-\frac{1}{4}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3+(-1)^{n}}{3^{n}} =\frac{3}{2}-\frac{1}{4} =\frac{6}{4}-\frac{1}{4} =\frac{5}{4}.

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu valor é \tfrac{5}{4}.

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