Verifique se a série é convergente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e soma de séries geométricas. Vamos usar a linearidade da soma e reconhecer séries geométricas.
Passo 2
Separamos a série em duas partes:
Cada uma é uma série geométrica (a primeira com razão
, a segunda com razão
).
Passo 3
Verificamos a convergência de cada série geométrica:
– Para , a razão é
com
, logo converge.
– Para , a razão é
com
, logo também converge.
Como ambas convergem, a série original converge (na verdade, absolutamente).
– Para
– Para
Como ambas convergem, a série original converge (na verdade, absolutamente).
Passo 4
Calculamos as somas:
Para a primeira,
Para a primeira,
Para a segunda,
Passo 5
Somando as duas partes, obtemos
Resposta
A série converge (absolutamente) e seu valor é
.