O que dizer da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} nos casos abaixo?
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma série infinita \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} e informa que
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=2.
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries numéricas, que analisa
r = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, precisamos do limite inverso ao dado. Como
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=2,
temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|} = \frac{1}{2}.

Passo 3

O teste da razão diz que, se
r = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| < 1,
então a série \sum a_n converge absolutamente. Aqui encontramos
r = \tfrac12 < 1,
logo a condição do teste da razão está satisfeita.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge absolutamente, e portanto converge.

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