Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) converge, então converge.
Passo 1
O enunciado afirma que se converge, então também converge. O conteúdo envolve convergência de séries e o conceito de convergência absoluta. Vamos ver se essa implicação é sempre verdadeira ou se existe um contra-exemplo.
Passo 2
Definição: dizemos que é absolutamente convergente quando converge. Se converge mas diverge, chamamos isso de convergência condicional. Para mostrar que a afirmação é falsa, basta achar uma série que seja condicionalmente convergente.
Passo 3
Considere a série alternada harmônica
Pelo teste de Leibniz, como é decrescente para e tende a zero, concluímos que
converge.
Passo 4
Porém, ao tomar módulo dos termos temos
que é a série harmônica clássica, conhecida por divergir. Logo, sum |an| diverge.