Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) S e sumn=1^+infty an converge, então sumn=1^+infty|an| converge.

Passo 1

O enunciado afirma que se sumn=1^infty an converge, então sumn=1^infty |an| também converge. O conteúdo envolve convergência de séries e o conceito de convergência absoluta. Vamos ver se essa implicação é sempre verdadeira ou se existe um contra-exemplo.

Passo 2

Definição: dizemos que sum an é absolutamente convergente quando sum |an| converge. Se sum an converge mas sum |an| diverge, chamamos isso de convergência condicional. Para mostrar que a afirmação é falsa, basta achar uma série que seja condicionalmente convergente.

Passo 3

Considere a série alternada harmônica
an = (-1)^n+1n
Pelo teste de Leibniz, como 1n é decrescente para n>=1 e tende a zero, concluímos que
sumn=1^infty (-1)^n+1n
converge.

Passo 4

Porém, ao tomar módulo dos termos temos
sumn=1^infty l|anr| = sumn=1^infty 1n,
que é a série harmônica clássica, conhecida por divergir. Logo, sum |an| diverge.

Resposta

F

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