Determine o volume do sólido limitado pela superficie z=1+e^2 sen y e pelos planos x= pm 1, y=0, y=pi e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido “debaixo” da superfície
z = 1 + e^2sin y
e acima do plano z=0, no paralelepípedo definido por
-1 <= x <= 1, 0 <= y <= pi, z>=0
O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla numa região de paralelepípedo.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral tripla. Primeiro em z, depois em y e finalmente em x:
V = integralx=-1^1 integraly=0^pi integralz=0^,1 + e^2sin y dz,dy,dx

Passo 3

Integramos em z. Como
integral0^,1+e^2sin y dz = l[zr]0^1+e^2sin y = 1 + e^2sin y,
ficamos com
V = integralx=-1^1 integral0^pi l(1 + e^2sin yr),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em x, o que é imediato, pois o integrando não depende de x:
integralx=-1^1dx = 2,
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V = 2 integral0^pi l(1 + e^2sin yr),dy

Passo 5

Separamos a integral em duas partes:
integral0^pi1,dy = pi, integral0^pisin y,dy = l[-cos yr]0^pi = 2
Portanto
integral0^pil(1 + e^2sin yr),dy = pi + e^2cdot2 = pi + 2e^2

Resposta

Substituindo em V=2(pi + 2e^2), obtemos
V = 2pi + 4e^2

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