Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
V(r, theta)=suml=0^infty(Al r^l+Blr^l+1) Pl(cos theta)
em que Pl são os polinômios de Legendre.
O potencial V0(theta) é o potencial na superfície da esfera de raio R, encontre que o potencial fora da esfera possui a seguinte forma,
V(r, theta)=suml=0^infty Blr^l+1 Pl(cos theta)
em que os coeficientes são dados por
Bl=2 l+12 R^l+1 integral0^pi V0(theta) Pl(cos theta) sin theta d theta

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, assumindo simetria azimutal (não depende de varphi). Sabemos que a solução geral em região livre de cargas é
V(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l+Blr^,l+1r)Pl(costheta),
onde Pl são os polinômios de Legendre. Precisamos impor a condição de contorno de que, na superfície da esfera de raio R,
V(R,theta)=V0(theta),
e determinar o potencial na região exterior ( r>= R).

Passo 2

Na região fora da esfera ( rtoinfty) queremos que V(r,theta) permaneça finito e, em geral, decaia a zero. Isso anula todos os termos crescentes em r^l, ou seja, fixamos
Al=0forall l
Assim, a solução exterior fica
V(r,theta)=suml=0^inftyBlr^,l+1Pl(costheta)

Passo 3

Para determinar Bl, usamos a condição de contorno em r=R. Temos
V(R,theta) =suml=0^inftyBlR^,l+1Pl(costheta) stackrel!=V0(theta)
Ou seja, expandimos V0(theta) em série de Legendre:
V0(theta) =suml=0^inftyCl,Pl(costheta),
com Cl=Bl/R^,l+1.

Passo 4

Pela ortogonalidade dos polinômios de Legendre,
integral0^piPl(costheta),Pl'(costheta),sintheta,dtheta =22l+1,de<all',
seguimos que
Cl =2l+12 integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta
Como Bl=Cl,R^,l+1, obtemos
Bl =2l+12,R^,l+1 integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta

Resposta

V(r,theta) =suml=0^inftyBlr^,l+1,Pl(costheta), Bl =2l+12,R^,l+1 integral0^piV0(theta),Pl(costheta),sintheta,dtheta

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