Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
em que
são os polinômios de Legendre.
O potencial
é o potencial na superfície da esfera de raio
, encontre que o potencial fora da esfera possui a seguinte forma,
em que os coeficientes são dados por
O potencial
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, assumindo simetria azimutal (não depende de
). Sabemos que a solução geral em região livre de cargas é
onde
são os polinômios de Legendre. Precisamos impor a condição de contorno de que, na superfície da esfera de raio
,
e determinar o potencial na região exterior (
).
Passo 2
Na região fora da esfera (
) queremos que
permaneça finito e, em geral, decaia a zero. Isso anula todos os termos crescentes em
, ou seja, fixamos
Assim, a solução exterior fica
Passo 3
Para determinar
, usamos a condição de contorno em
. Temos
Ou seja, expandimos
em série de Legendre:
com
.
Passo 4
Pela ortogonalidade dos polinômios de Legendre,
seguimos que
Como
, obtemos