Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
( ) Se sumn=1^+infty|an| converge, então sumn=1^+infty an converge.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um termo geral (an), se a série
sumn=1^+infty lvert anrvert
converge, então a série
sumn=1^+infty an
converge. O conteúdo envolvido é o conceito de convergência absoluta de séries e o uso do critério de Cauchy para provar convergência de séries numéricas.

Passo 2

Vamos aplicar o critério de Cauchy. Suponha que
sumn=1^+infty lvert anrvert
converge. Então, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para todo m>n>= N,
sumk=n+1^m lvert akrvert < varepsilon
Pela desigualdade triangular, temos
llvert sumk=n+1^m akrrvert <= sumk=n+1^m lvert akrvert < varepsilon
Isso mostra que os somatórios parciais de sum an formam uma sequência de Cauchy, logo sumn=1^+infty an converge.

Resposta

V

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