Determine o valor médio de f sobre o retângulo dado.
f(x, y)=e^x raizx+e^y, R=[0,4] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=e^xraizx+e^y sobre o retângulo
R=[0,4]times[0,1]
O conteúdo é cálculo de valor médio de função de duas variáveis, para o qual usamos a definição via integral dupla dividida pela área de R.

Passo 2

A área de R é
Area(R)=4cdot1=4
Portanto o valor médio de f sobre R é
bar f=1Area(R)integral duplaRf(x,y),dA =14integral0^4integral0^1e^xraizx+e^y,dy,dx

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
bar f=14integral0^4e^xl[integral0^1raizx+e^y,dyr]dx
Não há primitiva elementar para integral0^1raizx+e^y,dy, então prosseguimos por aproximação numérica.

Passo 4

Para cada x aproximamos
I(x)=integral0^1raizx+e^y,dy
por Regra de Simpson com pontos y=0,;0,5,;1. Assim
I(x)approx16l[raizx+1+4raizx+e^0,5+raizx+er]
Calculamos então e^xI(x) nos nós x=0,2,4:
x=0&: I(0)approx1,29745, e^0I(0)=1,29745, x=2&: I(2)approx1,9249, e^2I(2)approx14,225, x=4&: I(4)approx2,38975, e^4I(4)approx130,514

Passo 5

Agora aproximamos
integral0^4e^xI(x),dx
por Simpson em x com passo h=2:
integral0^4e^xI(x),dxapprox46l[1,29745+4cdot14,225+130,514r]approx125,808
Logo o valor médio é
bar fapprox14times125,808approx31,45

Resposta

O valor médio de f sobre R é aproximadamente 31,45.

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