Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas
integral0^1 integral0^1 x-y(x+y)^2 d y d x e integral0^1 integral0^1 x-y(x+y)^2 d x d y
Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas integrais iteradas da função
f(x,y)=x-y(x+y)^2
no quadrado [0,1]times[0,1], primeiro integrando em y e depois em x, e vice-versa. Depois, devemos verificar se esses resultados entram em contradição com o Teorema de Fubini. Para isso, vamos fazer cada iterada passo a passo por troca de variável e, em seguida, discutir a condição de integrabilidade absoluta de f.

Passo 2

Cálculo da primeira integral
I1=integral0^1l[integral0^1x-y(x+y)^2,dyr]dx
Para a integral interna em y com x fixo, faça u=x+y, de modo que du=dy, y=0mapsto u=x e y=1mapsto u=x+1. Observamos:
x-y(x+y)^2 =x-(u-x)u^2 =2x-uu^2 =2xu^2-1u
Logo,
integral0^1x-y(x+y)^2,dy =integralu=x^x+1l(2xu^2-1ur)du =2xl[-1ur]x^x+1-l[ln ur]x^x+1
Calculando os termos:
2xl(!-1x+1+1xr) -l(ln(x+1)-ln xr) =-2x+1-lnx+1x

Passo 3

Agora integramos em x:
I1 =integral0^1l(-2x+1-lnx+1xr)dx =-2integral0^1dxx+1 -integral0^1lnx+1x,dx
Sabemos que
integral0^1dxx+1=ln2, integral0^1lnx+1x,dx =integral0^1ln(x+1),dx-integral0^1ln x,dx =(2ln2-1)-(-1)=2ln2
Portanto,
I1=-2(ln2)-2ln2=-4ln2

Passo 4

Cálculo da segunda integral
I2=integral0^1l[integral0^1x-y(x+y)^2,dxr]dy
Agora, para y fixo, mude t=x+y, com dt=dx, de x=0 ( t=y ) até x=1 ( t=y+1 ). Então
x-y(x+y)^2 =(t-y)-yt^2 =t-2yt^2 =1t-2yt^2,
e
integral0^1x-y(x+y)^2,dx =integralt=y^y+1l(1t-2yt^2r)dt =l[ln tr]y^y+1 -2yl[-1tr]y^y+1
Isso dá
lny+1y +2yl(1y+1-1yr) =lny+1y-2y+1

Passo 5

Integramos em y:
I2 =integral0^1l(lny+1y-2y+1r)dy =integral0^1lny+1y,dy -2integral0^1dyy+1
Já temos integral0^1lny+1y,dy=2ln2 e integral0^1dyy+1=ln2. Assim,
I2=2ln2-2ln2=0

Passo 6

O Teorema de Fubini garante a igualdade das iteradas somente quando f é integrável absolutamente no retângulo. Aqui, f(x,y) tem singularidade não integrável em (0,0) e
integral dupla[0,1]^2l|f(x,y)r|,dx,dy approxintegral dupla1x+y,dx,dy
diverge. Logo, não há integrabilidade absoluta e o Teorema de Fubini não se aplica. Por isso as duas iterações dão valores distintos.

Resposta

integral0^1!integral0^1x-y(x+y)^2,dy,dx=-4ln2,
integral0^1!integral0^1x-y(x+y)^2,dx,dy=0
Elas não contradizem Fubini, pois a integral não é absolutamente convergente em [0,1]^2.

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