Utilize seu SCA para calcular as integrais iteradas
Suas respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique o que acontece.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as duas integrais iteradas da função
no quadrado
, primeiro integrando em
e depois em
, e vice-versa. Depois, devemos verificar se esses resultados entram em contradição com o Teorema de Fubini. Para isso, vamos fazer cada iterada passo a passo por troca de variável e, em seguida, discutir a condição de integrabilidade absoluta de
.
Passo 2
Cálculo da primeira integral
Para a integral interna em
com
fixo, faça
, de modo que
,
e
. Observamos:
Logo,
Calculando os termos:
Passo 3
Agora integramos em
:
Sabemos que
Portanto,
Passo 4
Cálculo da segunda integral
Agora, para
fixo, mude
, com
, de
(
) até
(
). Então
e
Isso dá
Passo 5
Integramos em
:
Já temos
e
. Assim,
Passo 6
O Teorema de Fubini garante a igualdade das iteradas somente quando
é integrável absolutamente no retângulo. Aqui,
tem singularidade não integrável em
e
diverge. Logo, não há integrabilidade absoluta e o Teorema de Fubini não se aplica. Por isso as duas iterações dão valores distintos.
Resposta
Elas não contradizem Fubini, pois a integral não é absolutamente convergente em