Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge e a_{n} \neq 0, \forall n \geq 1, então \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_{n}} converge;

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação
\text{"Se }\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{ diverge e }a_{n}\neq0\,,\text{ então }\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_{n}}\text{ converge."}ã
é verdadeira ou falsa. O tema é séries numéricas e uso de contraexemplo para testar a veracidade da afirmação.

Passo 2

Para refutar uma afirmação do tipo “sempre” basta dar um contraexemplo. Tome
a_{n} = \frac1{n}\quad\text{para }n\ge1.
Então
  1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n} é a série harmônica, que diverge.
  2. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}n, e essa série diverge (os termos não tendem a zero, de imediato já dá divergência).
Portanto, encontramos um caso em que \sum a_{n} diverge mas \sum1/a_{n} também diverge, contrariando a afirmação.

Resposta

F

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