\int \operatorname{senh} x \cdot \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{senh} x \cdot \operatorname{cosh} x \, d x
O tema é integração por substituição, pois sabemos que a derivada de \operatorname{senh} x é \operatorname{cosh} x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \operatorname{senh} x
e, em seguida, derivamos em função de x:
d u = \operatorname{cosh} x \, d x.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \operatorname{senh} x \cdot \operatorname{cosh} x \, d x =\int u\,d u.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u\,d u = \frac{u^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x usando u = \operatorname{senh} x, a primitiva fica
\frac{\bigl(\operatorname{senh} x\bigr)^{2}}{2} + C.

Resposta

\frac{\bigl(\operatorname{senh} x\bigr)^{2}}{2} + C

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