Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.

Passo 1

O enunciado considera duas sequências (a_n) e (b_n) tais que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty
e a série
\sum_{n=1}^{\infty}b_n
converge, e pergunta se disso segue que
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
também converge. O conteúdo envolvido é o teste de comparação de séries.

Passo 2

A condição \frac{a_n}{b_n}\to+\infty diz que a_n cresce muito mais rápido que b_n. Mesmo que \sum b_n convirja, não há garantia de que \sum a_n convirja. Um contraexemplo clássico é escolher
b_n = \frac{1}{n^2}, \quad a_n = \frac{1}{n}.
Então
\frac{a_n}{b_n} = \frac{1/n}{1/n^2} = n \longrightarrow +\infty,
a série
\sum_{n=1}^{\infty}b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
converge (é a série p com p=2>1), mas
\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, que diverge. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

(F)

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