Marque a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
O limite
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2 x} é uma indeterminação e seu valor é é e^{6}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{x \to \infty}\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr)^{2x}
Devemos (i) identificar se há forma indeterminada e (ii) calcular seu valor. O conteúdo usado aqui é o tratamento de limites do tipo 1^\infty via logaritmo natural.

Passo 2

Verificamos o comportamento da base e do expoente quando x\to\infty:
– A base 1+\frac{3}{x}\to1.
– O expoente 2x\to\infty.
Logo temos uma indeterminação do tipo 1^\infty.

Passo 3

Para calcular o limite, definimos
L = \lim_{x \to \infty}\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr)^{2x}
e aplicamos logaritmo natural, de modo que
\ln L = \lim_{x \to \infty}2x\,\ln\!\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr).

Passo 4

Vamos avaliar \lim_{x\to\infty}2x\,\ln\bigl(1+3/x\bigr). Para x grande, usa-se a expansão
\ln\bigl(1+3/x\bigr)=\frac{3}{x}-\frac{9}{2x^2}+o\!\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr).
Multiplicando por 2x obtém-se
2x\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr) =2x\Bigl(\frac{3}{x}+o(\tfrac1x)\Bigr) =6+o(1),
portanto
\lim_{x\to\infty}2x\,\ln\Bigl(1+\frac{3}{x}\Bigr)=6.

Passo 5

Como \ln L\to6, conclui-se
L = e^{\ln L} = e^6.
Assim o limite existe, vale e^6, e de fato era uma indeterminação do tipo 1^\infty.

Resposta

Ambas as afirmações estão corretas: é uma indeterminação do tipo 1^\infty e o valor do limite é e^6.

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