Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Se um campo possui função potencial, então a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Afirmação a verificar: “Se um campo possui função potencial, então a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.”
  • Informação dada (implícita): existe um campo vetorial \mathbf{F} definido em uma região U e existe uma função escalar \varphi definida em U tal que \mathbf{F} é a gradiente dessa função (isto é, \mathbf{F}=\nabla\varphi).
  • O que devemos decidir: a afirmação é verdadeira ou falsa? E justificar por que a integral de linha seria (ou não) dependente apenas dos pontos inicial e final.

Passo 2

Definição precisa de “função potencial” e formulação do objetivo técnico:
  • Dizer que “o campo possui função potencial” significa que existe uma função escalar \varphi:U\to\mathbb{R} tal que
\mathbf{F}(\mathbf{x})=\nabla\varphi(\mathbf{x})
para todo \mathbf{x}\in U. Aqui \nabla\varphi é o vetor dos derivadas parciais de \varphi.
  • Objetivo técnico: mostrar que, para qualquer curva suave \Gamma contida em U, parametrizada por \mathbf{r}:[a,b]\to U com pontos inicial \mathbf{r}(a) e final \mathbf{r}(b), a integral de linha
\int_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
depende apenas de \mathbf{r}(a) e \mathbf{r}(b), e não do caminho escolhido entre eles (desde que o caminho permaneça em U).

Passo 3

Prova passo a passo usando a regra da cadeia (teorema fundamental das integrais de linha):
  • Seja \Gamma uma curva suave em U, com parametrização \mathbf{r}(t), t\in[a,b]. Então d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.
  • A integral de linha de \mathbf{F} ao longo de \Gamma é
\int_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
  • Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, substituimos:
\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt=\int_{a}^{b}\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
  • Aplicamos a regra da cadeia: a derivada da função composta t\mapsto \varphi(\mathbf{r}(t)) é
\frac{d}{dt}\big(\varphi(\mathbf{r}(t))\big)=\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
  • Portanto a integral vira uma integral de uma derivada:
\int_{a}^{b}\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\big(\varphi(\mathbf{r}(t))\big)\,dt.
  • Usando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}\big(\varphi(\mathbf{r}(t))\big)\,dt=\varphi(\mathbf{r}(b))-\varphi(\mathbf{r}(a)).
  • Conclusão imediata: a integral de linha depende apenas dos valores de \varphi nos pontos finais, ou seja, apenas dos pontos inicial e final da curva. Isso prova a propriedade pedida.

Passo 4

Interpretação, exemplo concreto e observações importantes (dicas de prova e armadilhas):
  • Interpretação direta: se \mathbf{F}=\nabla\varphi então, qualquer que seja o caminho \Gamma de \mathbf{A} para \mathbf{B} contido em U,
\int_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\mathbf{B})-\varphi(\mathbf{A}),
portanto o valor depende só de \mathbf{A} e \mathbf{B}.
  • Exemplo numérico simples para fixar a ideia: tome \mathbf{F}(x,y)=(2x,2y). Uma potencial é \varphi(x,y)=x^{2}+y^{2} porque \nabla\varphi=(2x,2y). Para ligar (0,0) a (1,1):
    • Pelo teorema, a integral vale \varphi(1,1)-\varphi(0,0)=1+1-0=2.
    • Se fizer a integral explicitamente por dois caminhos diferentes (reta (t,t) ou dois segmentos), ambas as integrais dão 2 — experimente na prova mostrar um dos cálculos para convencer o avaliador.
  • Observação técnica importante (armadilha comum): a propriedade vale desde que \varphi esteja definida em toda a região por onde os caminhos passam. Se só existir uma função potencial localmente mas não globalmente em toda a região que contém os caminhos, pode haver caminhos que circundam “buracos” onde a propriedade falha. Exemplo clássico (no plano com origem removida) mostra que “curl zero” não garante potencial global sem cuidado com a topologia do domínio. Mas a afirmação dada assume que o campo já “possui função potencial” (isto é, há uma \varphi global na região considerada), então a conclusão é válida sem outras hipóteses.

Passo 5

Resumo final e dica de prova (estilo amigo e incentivo):
  • Resumindo: a afirmação é verdadeira. A prova eficiente na prova é exatamente mostrar que, se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então pela regra da cadeia
\int_{\Gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial}).
  • Dica prática: ao ver problemas sobre integrais de linha, se conseguir identificar uma \varphi com \mathbf{F}=\nabla\varphi, pare de integrar trajetórias complicadas — aplique direto a diferença de potenciais. Vai economizar tempo e erro. Força aí, você consegue!

Resposta

Verdadeira.

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