Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas e justifique.
Se um campo possui função potencial, então a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
Se um campo possui função potencial, então a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Afirmação a verificar: “Se um campo possui função potencial, então a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final.”
- Informação dada (implícita): existe um campo vetorial
definido em uma região e existe uma função escalar definida em tal que é a gradiente dessa função (isto é, ). - O que devemos decidir: a afirmação é verdadeira ou falsa? E justificar por que a integral de linha seria (ou não) dependente apenas dos pontos inicial e final.
Passo 2
Definição precisa de “função potencial” e formulação do objetivo técnico:
- Dizer que “o campo possui função potencial” significa que existe uma função escalar
tal que
para todo
. Aqui
é o vetor dos derivadas parciais de
.
- Objetivo técnico: mostrar que, para qualquer curva suave
contida em , parametrizada por com pontos inicial e final , a integral de linha
depende apenas de
e
, e não do caminho escolhido entre eles (desde que o caminho permaneça em
).
Passo 3
Prova passo a passo usando a regra da cadeia (teorema fundamental das integrais de linha):
- Seja
uma curva suave em , com parametrização , . Então . - A integral de linha de
ao longo de é
- Como
, substituimos:
- Aplicamos a regra da cadeia: a derivada da função composta
é
- Portanto a integral vira uma integral de uma derivada:
- Usando o teorema fundamental do cálculo:
- Conclusão imediata: a integral de linha depende apenas dos valores de
nos pontos finais, ou seja, apenas dos pontos inicial e final da curva. Isso prova a propriedade pedida.
Passo 4
Interpretação, exemplo concreto e observações importantes (dicas de prova e armadilhas):
- Interpretação direta: se
então, qualquer que seja o caminho de para contido em ,
portanto o valor depende só de
e
.
- Exemplo numérico simples para fixar a ideia: tome
. Uma potencial é porque . Para ligar a : - Pelo teorema, a integral vale
. - Se fizer a integral explicitamente por dois caminhos diferentes (reta
ou dois segmentos), ambas as integrais dão — experimente na prova mostrar um dos cálculos para convencer o avaliador.
- Pelo teorema, a integral vale
- Observação técnica importante (armadilha comum): a propriedade vale desde que
esteja definida em toda a região por onde os caminhos passam. Se só existir uma função potencial localmente mas não globalmente em toda a região que contém os caminhos, pode haver caminhos que circundam “buracos” onde a propriedade falha. Exemplo clássico (no plano com origem removida) mostra que “curl zero” não garante potencial global sem cuidado com a topologia do domínio. Mas a afirmação dada assume que o campo já “possui função potencial” (isto é, há uma global na região considerada), então a conclusão é válida sem outras hipóteses.
Passo 5
Resumo final e dica de prova (estilo amigo e incentivo):
- Resumindo: a afirmação é verdadeira. A prova eficiente na prova é exatamente mostrar que, se
, então pela regra da cadeia
- Dica prática: ao ver problemas sobre integrais de linha, se conseguir identificar uma
com , pare de integrar trajetórias complicadas — aplique direto a diferença de potenciais. Vai economizar tempo e erro. Força aí, você consegue!
Resposta
Verdadeira.