Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
O plano que contém a reta \left\{\begin{array}{l}x=2 \\\ z=4\end{array}\right. e passa pelo ponto ( 1,3,4 ) é paralelo ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede para classificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é: "O plano que contém a reta
\begin{cases}x=2\\\ z=4\end{cases}
e passa pelo ponto (1,3,4) é paralelo ao plano xy." Informações relevantes dadas:
  • A reta é dada por \{x=2,\;z=4\}, isto é, todos os pontos da reta têm x=2 e z=4, com y variando livremente.
  • O ponto que o plano deve conter é P=(1,3,4).
    A tarefa: decidir se o plano que contém essa reta e o ponto P é paralelo ao plano xy, e justificar.

Passo 2

Interpreto a reta na forma vetorial e extraio seu vetor diretor. Como x e z são constantes na reta e só y varia, um ponto qualquer da reta é, por exemplo, A=(2,0,4) (peguei y=0 para ter um ponto concreto da reta). O vetor diretor da reta é paralelo ao eixo y, portanto
v=(0,1,0).
Expliquei: o vetor diretor aponta na direção em que a reta varia — aqui só varia y — por isso (0,1,0).

Passo 3

Verifico se o ponto P=(1,3,4) pertence à reta. A reta exige x=2, mas P tem x=1; logo P não está sobre a reta. Isso é importante: um ponto fora da reta mais a reta determinam um único plano.

Passo 4

Para obter o plano que contém a reta e o ponto P, construo um vetor que liga um ponto da reta a P. Usei o ponto A=(2,0,4) da reta (pegado da própria definição da reta). Então o vetor
\overrightarrow{AP}=P-A=(1-2,\;3-0,\;4-4)=(-1,3,0).
Expliquei: \overrightarrow{AP} é um vetor que está contido no plano procurado, assim como o vetor diretor v da reta.

Passo 5

O produto vetorial v\times\overrightarrow{AP} dá um vetor normal ao plano determinado por v e \overrightarrow{AP}. Calculo o produto vetorial:
v\times\overrightarrow{AP}= \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} =(0,0,1).
Expliquei: o resultado tem componentes 0,0,1, ou seja, é paralelo ao eixo z.]

Passo 6

Se o vetor normal do plano é (0,0,1), então a equação do plano tem a forma
0(x-x_0)+0(y-y_0)+1(z-z_0)=0,
ou seja
z=z_0.
Como todos os pontos usados (qualquer ponto da reta tem z=4 e o ponto P tem z=4), escolhemos z_0=4 e a equação do plano é
z=4.
Expliquei: este plano é exatamente um plano paralelo ao plano xy (o plano xy é o plano z=0); planos da forma z= constante são paralelos ao plano xy.

Passo 7

Concluo que o plano que contém a reta dada e passa por P é o plano z=4, que é paralelo ao plano xy. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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