Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
O plano que contém a reta \left\{\begin{array}{l}x=2 \\\ z=4\end{array}\right. e passa pelo ponto ( 1,3,4 ) é paralelo ao plano x y.
Passo 1
O enunciado pede para classificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. A afirmação é: "O plano que contém a reta
\begin{cases}x=2\\\ z=4\end{cases}
e passa pelo ponto (1,3,4) é paralelo ao plano xy." Informações relevantes dadas:
A reta é dada por \{x=2,\;z=4\}, isto é, todos os pontos da reta têm x=2 e z=4, com y variando livremente.
O ponto que o plano deve conter é P=(1,3,4).
A tarefa: decidir se o plano que contém essa reta e o ponto P é paralelo ao plano xy, e justificar.
Passo 2
Interpreto a reta na forma vetorial e extraio seu vetor diretor. Como x e z são constantes na reta e só y varia, um ponto qualquer da reta é, por exemplo, A=(2,0,4) (peguei y=0 para ter um ponto concreto da reta). O vetor diretor da reta é paralelo ao eixo y, portanto
v=(0,1,0).
Expliquei: o vetor diretor aponta na direção em que a reta varia — aqui só varia y — por isso (0,1,0).
Passo 3
Verifico se o ponto P=(1,3,4) pertence à reta. A reta exige x=2, mas P tem x=1; logo P não está sobre a reta. Isso é importante: um ponto fora da reta mais a reta determinam um único plano.
Passo 4
Para obter o plano que contém a reta e o ponto P, construo um vetor que liga um ponto da reta a P. Usei o ponto A=(2,0,4) da reta (pegado da própria definição da reta). Então o vetor