Considere a reta u:\left\{\frac{x-1}{a}=-y+2=\frac{z}{2}\right. e o plano \beta: 2 x+y-z+d=0. Determine, se existirem, os valores de a e d tais que:
(a) u esteja contida em \beta;
(b) u seja paralela a \beta;
(c) u seja ortogonal a \beta.

Passo 1

O enunciado dá a reta
u:\left\{\frac{x-1}{a}=-y+2=\frac{z}{2}\right.
e o plano
\beta:2x+y-z+d=0.
As perguntas são três, separadas:
(a) Determinar a e d tais que u esteja contida em \beta.
(b) Determinar a e d tais que u seja paralela a \beta.
(c) Determinar a e d tais que u seja ortogonal a \beta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e que usaremos:
\text{(i) a reta está dada em forma simétrica (com parâmetro implícito)},\qquad \text{(ii) o plano está na forma }2x+y-z+d=0.áéâíá
Não pedirei nem preciso de mais nada; vou transformar a reta em forma paramétrica e usar vetores diretores e normal do plano para montar as condições pedidas.

Passo 2

Vamos colocar a reta u em forma paramétrica para extrair um ponto e o vetor diretor. Chamemos o valor comum na igualdade de t:
t=\frac{x-1}{a}=-y+2=\frac{z}{2}.
Dessa igualdade obtemos as fórmulas paramétricas:
x=1+at,\qquad y=2-t,\qquad z=2t.
Portanto um ponto da reta (quando t=0) é
P_0=(1,2,0),
e o vetor diretor da reta é (coeficientes de t)
\vec{v}=(a,-1,2).
Comentário rápido: se a=0 a forma simétrica original tem (x-1)/a indefinido, mas a interpretação correta é x=1 e a expressão paramétrica e o vetor diretor \vec v=(0,-1,2) continuam válidos. Assim \vec v=(a,-1,2) vale para qualquer a.

Passo 3

O plano \beta tem a equação
2x+y-z+d=0,
portanto o vetor normal ao plano é
\vec{n}=(2,1,-1).
Vou usar este \vec n para testar paralelismo, inclusão e ortogonalidade entre reta e plano. Antes de aplicar fórmulas, explico o significado geométrico que vamos usar.

Passo 4

Relembrando os critérios (explicando com calma):
  • Uma reta está contida em um plano se e só se o vetor diretor da reta for paralelo ao plano (ou seja, ortogonal ao vetor normal do plano) E um ponto da reta satisfizer a equação do plano (o ponto pertence ao plano).
    • Teste vetorial: \vec n\cdot\vec v=0 garante que \vec v é paralelo ao plano.
    • Teste do ponto: substituir P_0 na equação do plano deve dar 0.
  • Uma reta é paralela ao plano se o vetor diretor da reta for paralelo ao plano ( \vec n\cdot\vec v=0) mas pelo menos um ponto da reta NÃO estiver no plano.
  • Uma reta é ortogonal ao plano se e só se o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano, isto é, existir \lambda tal que \vec v=\lambda\vec n.
Vou agora aplicar essas condições com cálculos explícitos.

Passo 5

Calculamos o produto escalar \vec n\cdot\vec v para obter a condição de paralelismo entre \vec v e o plano:
\vec n\cdot\vec v=(2,1,-1)\cdot(a,-1,2)=2a+1\cdot(-1)+(-1)\cdot 2.
Fazendo as contas:
\vec n\cdot\vec v=2a-1-2=2a-3.
Logo a condição \vec n\cdot\vec v=0 (vetor diretor paralelo ao plano) é
2a-3=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{2}.

Passo 6

Agora aplico as condições para cada item.
(a) Condição para u estar contida em \beta:
  • Já temos a condição sobre a dada pelo paralelismo de \vec v ao plano: a=\tfrac{3}{2}.
  • Além disso, o ponto P_0=(1,2,0) deve satisfazer a equação do plano; substituímos em 2x+y-z+d=0:
2\cdot 1 + 2 - 0 + d=0 \quad\Rightarrow\quad 4+d=0.
Assim
d=-4.
Conclusão parcial: para inclusão precisamos de a=\tfrac{3}{2} e d=-4. (Se qualquer uma dessas falhar, a reta não estará contida.)

Passo 7

(b) Condição para u ser paralela a \beta:
  • Novamente a condição de paralelismo de vetor diretor é \vec n\cdot\vec v=0, que já deu a=\tfrac{3}{2}.
  • Para que a reta não esteja contida, o ponto P_0 não deve satisfazer a equação do plano; isto é, 2\cdot1+2-0+d\neq 0, ou seja 4+d\neq 0.
    Portanto a condição é
a=\frac{3}{2}\quad\text{e}\quad d\neq -4.

Passo 8

(c) Condição para u ser ortogonal a \beta:
  • Precisamos que o vetor diretor \vec v seja múltiplo escalar do vetor normal \vec n, ou seja, exista \lambda tal que
(a,-1,2)=\lambda(2,1,-1).
Isso gera o sistema (equacionando componente a componente):
a=2\lambda,\qquad -1=\lambda,\qquad 2=-\lambda.
Da segunda equação obtemos \lambda=-1. Substituindo em terceira equação daria 2=-(-1)=1, o que é absurdo. Há contradição entre as equações: não existe \lambda que satisfaça todas as três componentes simultaneamente. Portanto não existe valor de a que faça \vec v ser paralelo a \vec n.
  • Como a ortogonalidade exige exatamente isso, concluímos que não existem a (nem qualquer d) tais que u seja ortogonal a \beta.

Resposta

(a) a=\dfrac{3}{2},\\ d=-4
(b) a=\dfrac{3}{2},\\ d\neq -4
(c) Não existem a e d tais que u seja ortogonal a \beta.

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