Considere a reta
e o plano
. Determine, se existirem, os valores de
e
tais que:
(a)
esteja contida em
;
(b)
seja paralela a
;
(c)
seja ortogonal a
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a reta
e o plano
As perguntas são três, separadas:
(a) Determinar e
tais que
esteja contida em
.
(b) Determinar e
tais que
seja paralela a
.
(c) Determinar e
tais que
seja ortogonal a
.
(a) Determinar
(b) Determinar
(c) Determinar
Informações relevantes dadas pelo enunciado e que usaremos:
Não pedirei nem preciso de mais nada; vou transformar a reta em forma paramétrica e usar vetores diretores e normal do plano para montar as condições pedidas.
Passo 2
Vamos colocar a reta
em forma paramétrica para extrair um ponto e o vetor diretor. Chamemos o valor comum na igualdade de
:
Dessa igualdade obtemos as fórmulas paramétricas:
Portanto um ponto da reta (quando
) é
e o vetor diretor da reta é (coeficientes de
)
Comentário rápido: se
a forma simétrica original tem
indefinido, mas a interpretação correta é
e a expressão paramétrica e o vetor diretor
continuam válidos. Assim
vale para qualquer
.
Passo 3
O plano
tem a equação
portanto o vetor normal ao plano é
Vou usar este
para testar paralelismo, inclusão e ortogonalidade entre reta e plano. Antes de aplicar fórmulas, explico o significado geométrico que vamos usar.
Passo 4
Relembrando os critérios (explicando com calma):
- Uma reta está contida em um plano se e só se o vetor diretor da reta for paralelo ao plano (ou seja, ortogonal ao vetor normal do plano) E um ponto da reta satisfizer a equação do plano (o ponto pertence ao plano).
- Teste vetorial:
garante que é paralelo ao plano. - Teste do ponto: substituir
na equação do plano deve dar .
- Teste vetorial:
- Uma reta é paralela ao plano se o vetor diretor da reta for paralelo ao plano (
) mas pelo menos um ponto da reta NÃO estiver no plano. - Uma reta é ortogonal ao plano se e só se o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano, isto é, existir
tal que .
Vou agora aplicar essas condições com cálculos explícitos.
Passo 5
Calculamos o produto escalar
para obter a condição de paralelismo entre
e o plano:
Fazendo as contas:
Logo a condição
(vetor diretor paralelo ao plano) é
Passo 6
Agora aplico as condições para cada item.
(a) Condição para
estar contida em
:
- Já temos a condição sobre
dada pelo paralelismo de ao plano: . - Além disso, o ponto
deve satisfazer a equação do plano; substituímos em :
Assim
Conclusão parcial: para inclusão precisamos de
e
. (Se qualquer uma dessas falhar, a reta não estará contida.)
Passo 7
(b) Condição para
ser paralela a
:
- Novamente a condição de paralelismo de vetor diretor é
, que já deu . - Para que a reta não esteja contida, o ponto
não deve satisfazer a equação do plano; isto é, , ou seja .
Portanto a condição é
Passo 8
(c) Condição para
ser ortogonal a
:
- Precisamos que o vetor diretor
seja múltiplo escalar do vetor normal , ou seja, exista tal que
Isso gera o sistema (equacionando componente a componente):
Da segunda equação obtemos
. Substituindo em terceira equação daria
, o que é absurdo. Há contradição entre as equações: não existe
que satisfaça todas as três componentes simultaneamente. Portanto não existe valor de
que faça
ser paralelo a
.
- Como a ortogonalidade exige exatamente isso, concluímos que não existem
(nem qualquer ) tais que seja ortogonal a .
Resposta
(a)
(b)
(c) Não existem e
tais que
seja ortogonal a
.
(b)
(c) Não existem