Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
O plano que passa pelos pontos C(1,0,0), D(0,0,4) e E(2,3,-4) é paralelo ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique como verdadeira ou falsa a afirmação: "O plano que passa por C(1,0,0), D(0,0,4) e E(2,3,-4) é paralelo ao eixo y".
Informações dadas: as coordenadas dos três pontos C, D e E são exatamente essas.
Objetivo imediato: decidir se o plano determinado por esses três pontos é paralelo ao eixo y e justificar.

Passo 2

O que significa "plano paralelo ao eixo y" de forma vetorial e prática (explicando passo a passo):
Um plano em \mathbb{R}^3 pode ser visto como gerado por dois vetores diretores (dois vetores que ficam dentro do plano). Se o eixo y (direção dada pelo vetor (0,1,0)) for paralelo ao plano, então existe uma reta no plano com direção (0,1,0). Em termos de vetores, isto equivale a: o vetor (0,1,0) deve ser combinação linear dos vetores diretores do plano.
Outra forma equivalente: o vetor normal ao plano \mathbf{n} deve ser ortogonal a (0,1,0); isto é, \mathbf{n}\cdot(0,1,0)=0. Vou usar a forma mais direta (combinação linear), que é bem elementar e fácil de fazer sem fórmulas de produto vetorial se você preferir.

Passo 3

Primeiro obtenho dois vetores diretores do plano a partir dos pontos dados: tomo C como referência e faço \overrightarrow{CD} = D-C e \overrightarrow{CE} = E-C. Calculo componente a componente:
\overrightarrow{CD} = D-C = (0-1,\;0-0,\;4-0)=(-1,\;0,\;4).
\overrightarrow{CE} = E-C = (2-1,\;3-0,\;-4-0)=(1,\;3,\;-4).
Esses dois vetores estão no plano.

Passo 4

Agora vejo se (0,1,0)\) pode ser escrita como combinação linear desses dois vetores; ou seja, procuro escalares \(a\) e \(b\) tais que \[a\overrightarrow{CD}+b\overrightarrow{CE}=(0,1,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema:
\begin{cases} -a + b = 0,\\[4pt] 0\cdot a + 3b = 1,\\[4pt] 4a -4b = 0. \end{cases}
Resolvo passo a passo: da segunda equação vem
3b=1 \implies b=\tfrac{1}{3}.
Da primeira equação,
-a+b=0 \implies a=b=\tfrac{1}{3}.
Verifico a terceira equação para consistência:
4a-4b=4\cdot\tfrac{1}{3}-4\cdot\tfrac{1}{3}=0,
que é satisfeita. Logo existem a\] e \(b (especificamente a=b=\tfrac{1}{3}) tais que a\overrightarrow{CD}+b\overrightarrow{CE}=(0,1,0). Portanto o vetor (0,1,0) está no espaço gerado por \overrightarrow{CD} e \overrightarrow{CE}, isto é, está contido no plano.]

Passo 5

Interpretação final do resultado (didática): como o vetor direção do eixo y, (0,1,0), pertence ao plano (é combinação linear dos vetores diretores do plano), isso significa que existe no plano uma reta paralela ao eixo y. Essa é exatamente a definição geométrica de "plano paralelo ao eixo y". Portanto a afirmação é verdadeira.
(Se você quiser ver alternativa: poderíamos também calcular o vetor normal ao plano por \overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CE} e verificar que sua componente y é zero, o que daria o mesmo resultado porque o produto escalar do normal com (0,1,0) seria zero.)

Resposta

Verdadeira

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