Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, U e W dois subespaços vetoriais de V. Se dim U = \operatorname{dim} \mathrm{W}, então \mathrm{U}=\mathrm{W}.

Passo 1

O enunciado dá: V é um espaço vetorial de dimensão finita, U e W são subespaços de V e \dim U = \dim W. A pergunta é: a igualdade das dimensões implica que U = W? Preciso classificar a afirmação como verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Vamos recapitular definições básicas (devagar e sem pressa):
  • Um subconjunto S de V é um subespaço se contém o vetor zero, é fechado por soma e por multiplicação por escalar.
  • Uma base de um subespaço X é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera X (ou seja, todo vetor de X é combinação linear desses vetores).
  • A dimensão \dim X é o número de vetores em qualquer base de X (para espaços de dimensão finita essa definição faz sentido porque todas as bases têm o mesmo número de vetores).
    Esses conceitos vão aparecer nas justificativas: quando eu falar em “base” ou “dimensão”, é esse significado.

Passo 3

Intuição rápida: ter o mesmo “número de graus de liberdade” (mesma dimensão) não significa que sejam os mesmos vetores. Dois subespaços diferentes podem ter a mesma dimensão mas “estarem apontando” em direções diferentes dentro de V.

Passo 4

Contraexemplo concreto (método direto para mostrar que a afirmação é falsa). Considere \;V=\mathbb{R}^2\;. Defina
U=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \quad\text{(eixo \(x\))},
W=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\} \quad\text{(eixo \(y\))}.
  • Uma base de U é \{(1,0)\}, logo \dim U=1.
  • Uma base de W é \{(0,1)\}, logo \dim W=1.
    Portanto \dim U=\dim W. Porém claramente U\neq W, porque, por exemplo, (1,0)\in U mas (1,0)\notin W. Assim temos dois subespaços com a mesma dimensão que não são iguais. Isso mostra que a afirmação é falsa.

Passo 5

Agora, para não deixar dúvida, explico um teorema relacionado que costuma confundir as pessoas: se além de \dim U=\dim W tivermos que U\subseteq W (ou W\subseteq U), então realmente U=W. Prova curta e didática:
  • Seja \dim U=\dim W=n e suponha U\subseteq W. Seja B_U=\{u_1,\dots,u_n\} uma base de U. Como U\subseteq W, os vetores u_1,\dots,u_n estão em W. Eles são linearmente independentes (porque são base de U). Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é uma base. Assim B_U é base de W, logo gera W, e portanto W=\operatorname{span}B_U=U. Conclusão: inclusão + igualdade de dimensões implica igualdade dos subespaços.
    Esse resultado explica por que, apesar de igual dimensão não implicar igualdade em geral, se você souber que um está contido no outro, aí sim a igualdade das dimensões garante que são o mesmo subespaço.

Passo 6

Dica prática para prova (ânimo, você consegue):
  • Se te darem uma afirmação universal do tipo “se \dim U=\dim W então U=W”, primeiro tente construir um contraexemplo simples em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 (eixos, planos diferentes que passam pela origem). Se encontrar, a afirmação é falsa.
  • Se a afirmação incluir hipótese de inclusão, use o argumento da base (construir base de um que fica dentro do outro e comparar tamanhos) para provar que é verdadeira.

Resposta

Falso.

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