[1,0] Determine a matriz das coordenadas do vetor v=(2,3,1) \in R^{3} em relação à base \{(1,1,1), (2,1,1), (3,2,1)} do \mathrm{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor \,(2,3,1)\in\mathbb{R}^3 e a base \{(1,1,1),\;(2,1,1),\;(3,2,1)\} de \mathbb{R}^3.
O que se pede: encontrar as coordenadas do vetor \,v=(2,3,1) em relação a essa base, ou seja, achar escalares \,a,b,c tais que a combinação linear das três vetores da base dê \,v.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando queremos as coordenadas de um vetor v numa base B=\{b_1,b_2,b_3\}, procuramos escalares a,b,c tais que
a\,b_1 + b\,b_2 + c\,b_3 = v.
Como b_1,b_2,b_3 são vetores em \mathbb{R}^3, isso gera um sistema linear com três equações (uma para cada componente). Resolver esse sistema é o que dá as coordenadas (a,b,c). A solução existe e é única porque uma base é, por definição, um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço.
Passo 3
Escrevendo explicitamente os vetores dados pelo enunciado (coloquei-os em \LaTeX exatamente como no enunciado):