[1,0] Determine a matriz das coordenadas do vetor v=(2,3,1) \in R^{3} em relação à base \{(1,1,1), (2,1,1), (3,2,1)} do \mathrm{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \,(2,3,1)\in\mathbb{R}^3 e a base \{(1,1,1),\;(2,1,1),\;(3,2,1)\} de \mathbb{R}^3.
O que se pede: encontrar as coordenadas do vetor \,v=(2,3,1) em relação a essa base, ou seja, achar escalares \,a,b,c tais que a combinação linear das três vetores da base dê \,v.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando queremos as coordenadas de um vetor v numa base B=\{b_1,b_2,b_3\}, procuramos escalares a,b,c tais que
a\,b_1 + b\,b_2 + c\,b_3 = v.
Como b_1,b_2,b_3 são vetores em \mathbb{R}^3, isso gera um sistema linear com três equações (uma para cada componente). Resolver esse sistema é o que dá as coordenadas (a,b,c). A solução existe e é única porque uma base é, por definição, um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço.

Passo 3

Escrevendo explicitamente os vetores dados pelo enunciado (coloquei-os em \LaTeX exatamente como no enunciado):
b_1=(1,1,1),\qquad b_2=(2,1,1),\qquad b_3=(3,2,1),
e o vetor alvo
v=(2,3,1).
Procuramos a,b,c tais que
a(1,1,1)+b(2,1,1)+c(3,2,1)=(2,3,1).

Passo 4

Separando por coordenadas (cada linha corresponde a uma componente do vetor), obtemos o sistema linear
\begin{cases} a + 2b + 3c = 2,\\[4pt] a + b + 2c = 3,\\[4pt] a + b + c = 1. \end{cases}
Expliquei aqui: a primeira equação vem da primeira componente, a segunda da segunda, a terceira da terceira.]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (método direto por eliminação simples):
Da terceira equação temos
a + b + c = 1.
Da segunda equação temos
a + b + 2c = 3.
Subtraindo a terceira da segunda:
(a+b+2c)-(a+b+c)=3-1 \quad\Rightarrow\quad c=2.

Passo 6

Substituindo c=2 na terceira equação:
a + b + 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad a + b = -1.
Substituindo c=2 na primeira equação:
a + 2b + 3\cdot 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad a + 2b + 6 = 2 \quad\Rightarrow\quad a + 2b = -4.

Passo 7

Agora temos o sistema simples para a\) e \(b\): \[\begin{cases} a + b = -1,\\\ a + 2b = -4. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(a+2b)-(a+b)= -4 - (-1) \quad\Rightarrow\quad b = -3.
Então b=-3\]. Voltando em \(a+b=-1:
a + (-3) = -1 \quad\Rightarrow\quad a = 2.

Passo 8

Concluímos que os escalares são
a=2,\qquad b=-3,\qquad c=2.
Ou seja, o vetor v se escreve na base dada como
v = 2\,b_1 + (-3)\,b_2 + 2\,b_3.

Passo 9

Verificação rápida (sempre boa prática na prova): calcular a combinação
2(1,1,1) + (-3)(2,1,1) + 2(3,2,1)
= (2,2,2) + (-6,-3,-3) + (6,4,2)
= (2-6+6,\;2-3+4,\;2-3+2) = (2,3,1),
que é exatamente v. Perfeito — resposta confirmada.

Resposta

\begin{pmatrix}2\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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