[3,0] Seja U=\left\{(x, y, z) \in R^{3} \mid 2 x-y+3 z=0\right\}.
a) Mostre que U é um subespaço vetorial de R^{3}.
b) Determine um conjunto gerador de U.
c) Qual é a dimensão de U?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid 2x-y+3z=0\} e pede três coisas:
a) Mostrar que U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
b) Determinar um conjunto gerador de U.
c) Determinar a dimensão de U.
Informações relevantes: a equação linear que define U é 2x-y+3z=0. Não há outras restrições.
Passo 2
Provar que U é subespaço vetorial: lembro que para um subconjunto U\subseteq \mathbb{R}^3 ser subespaço precisamos verificar três propriedades simples e fáceis de checar:
U não é vazio (tipicamente mostramos que o vetor zero pertence).
Fechamento por soma: se u,v\in U então u+v\in U.
Fechamento por multiplicação escalar: se u\in U e c\in\mathbb{R} então c u\in U.
Vou verificar uma a uma.
Passo 3
Verificação 1 — vetor zero: o vetor zero é (0,0,0). Substituindo na equação que define U:
2\cdot 0 - 0 + 3\cdot 0 = 0.
Portanto (0,0,0)\in U. Assim U não é vazio.
Passo 4
Verificação 2 — fech. por soma: seja u=(x_1,y_1,z_1)\in U e v=(x_2,y_2,z_2)\in U. Pelas hipóteses temos
Logo u+v\in U. A propriedade de distribuição da soma é a que justifica esse passo.
Passo 5
Verificação 3 — fech. por multiplicação escalar: seja u=(x,y,z)\in U com 2x-y+3z=0 e seja c\in\mathbb{R}. Considere c u=(cx,cy,cz). Então
2(cx) - (cy) + 3(cz) = c(2x-y+3z) = c\cdot 0 = 0.
Portanto c u\in U. Isso usa a propriedade distributiva da multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão da parte (a): como U contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Passo 7
Para obter um conjunto gerador (parte b) é conveniente parametrizar as soluções da equação 2x-y+3z=0. Reescrevo a equação isolando uma variável simples, por exemplo y:
y = 2x + 3z.
Agora tomo parâmetros livres para as outras duas coordenadas: escolho x=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de U é
(x,y,z) = (s,\;2s+3t,\;t).
Passo 8
Escrevo o vetor genérico como combinação linear dos vetores obtidos separando os coeficientes de s e t:
(s,\;2s+3t,\;t) = s\,(1,2,0) + t\,(0,3,1).
Isto mostra que todo vetor de U é combinação linear de (1,2,0) e (0,3,1). Portanto
U = \operatorname{span}\{(1,2,0),\;(0,3,1)\},
ou seja, \{(1,2,0),(0,3,1)\} é um conjunto gerador de U.
Passo 9
Verificação rápida de que os geradores realmente pertencem a U: para (1,2,0) calculo 2\cdot1 - 2 + 3\cdot 0 = 0. Para (0,3,1) calculo 2\cdot0 - 3 + 3\cdot1 = 0. Ambos satisfazem a equação, logo estão em U.
Passo 10
Agora mostro que esses dois vetores são linearmente independentes (assim formam uma base, e não apenas um gerador redundante). Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a(1,2,0) + b(0,3,1) = (0,0,0).
Da primeira coordenada vem a=0\]. Da terceira coordenada vem \(b=0. Assim a=b=0, o que prova independência linear.]
Passo 11
Como \{(1,2,0),(0,3,1)\} gera U e é linearmente independente, é uma base de U. Logo a dimensão de U (parte c) é o número de vetores da base, isto é 2. Intuitivamente, a equação linear independente em \mathbb{R}^3 define um plano que passa pela origem, e um plano tem dimensão 2.
Resposta
a) Sim, U é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
b) Um conjunto gerador é \{(1,2,0),\,(0,3,1)\}, ou seja U=\operatorname{span}\{(1,2,0),(0,3,1)\}.
c) \dim(U)=2.