Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(d) O plano tangente ao gráfico de
relativo a
) é o gráfico da linearização de
em torno de
.
(d) O plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que o plano tangente ao gráfico de uma função $ f $ no ponto $ (a, b, f(a, b)) $ é o mesmo que o gráfico da linearização de $ f $ em torno de $ (a, b) $. Vamos precisar entender o que são plano tangente e linearização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre plano tangente. Imagina que você tem uma superfície representada pelo gráfico de $ f(x, y) $. O plano tangente nesse gráfico no ponto $ (a, b, f(a, b)) $ é basicamente o melhor plano que “encosta” nessa superfície naquele ponto. Ele representa a aproximação linear da superfície bem perto desse ponto.
Passo 3
Agora, sobre a linearização de uma função. A linearização de $ f $ em torno de $ (a, b) $ é uma função linear que aproxima $ f(x, y) $ perto desse ponto. É como pegar a primeira parte do desenvolvimento de Taylor da função para aproximar seu comportamento local.
Passo 4
A chave aqui é perceber que tanto o plano tangente quanto a linearização são formas lineares que aproximam a função $ f $ perto do ponto $ (a, b) $. O plano tangente é representado pela equação linear que descreve o plano, enquanto a linearização é essa própria equação vista como uma função linear.
Passo 5
Então, como ambos representam a mesma aproximação linear da função no ponto $ (a, b) $, podemos concluir que o plano tangente e a linearização são essencialmente a mesma coisa nesse contexto.
Resposta
Verdadeiro. O plano tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (a, b, f(a, b)) $ é de fato o gráfico da linearização de $ f $ em torno de $ (a, b) $.