Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis nos pontos indicados:
(b) f(x, y)= x^3 sin (y^3)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= x^3sin(y^3)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0)0,&se (x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade em (0,0), isto é, mostrar que existe um mapa linear L tal que f(h,k)−f(0,0)−L(h,k)=o(\sqrt{h{2}+k{2}}).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0). Para fx(0,0) temos
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Analogamente, para fy(0,0)
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00-0k=0
Então o candidato ao diferencial é o mapa linear nulo L(h,k)=0.

Passo 3

Agora verificamos o termo de resto. Precisamos mostrar
f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2=f(h,k)raizh^2+k^2to0 \nquando (h,k)to(0,0). Note que
|f(h,k)|=|h^3sin(k^3)h^2+k^2|<=|h|^3|k|^3h^2+k^2
Em coordenadas polares, h=rcostheta e k=rsintheta, isso vira
|f(r,theta)|<=r^6|cos^3theta,sin^3theta|r^2=r^4|cos^3theta,sin^3theta|<= r^4
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|f(h,k)raizh^2+k^2|<=r^4r=r^3to0
quando r=raizh^2+k^2to0.

Passo 4

Como o resto é o(raizh^2+k^2) e as derivadas parciais existem e são finitas, concluímos que f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa nulo.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) e df(0,0)(h,k)=0.

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