Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
A função f(x, y)=e^x yx^2+y^2+1 é diferenciável em todos os pontos do domínio.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f definida por
f(x,y)=e^xyx^2+y^2+1
Nosso objetivo é decidir se ela é diferenciável em todo ponto do domínio (que é todo R^2, pois o denominador nunca anula).

Passo 2

Observamos que o numerador e^xy é uma função composta de exponencial e produto, ambas de classe C^infty em R^2. Logo, e^xy é C^infty.

Passo 3

O denominador x^2+y^2+1 também é um polinômio de grau 2 somado a 1, portanto é uma função de classe C^infty que nunca se anula (sempre >0).

Passo 4

Como o quociente de duas funções C^infty, com denominador distinto de zero em todo o domínio, é também uma função C^infty, concluímos que f(x,y) é diferenciável (na verdade infinitamente diferenciável) em todo R^2.

Resposta

Verdadeira.

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