Determine cada um dos limites dados a seguir:
lim x -infty x+x sin (x)x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto -infty x + xsin(x)x. O tema é limites de funções e vamos precisar simplificar a expressão antes de avaliar o comportamento quando x tende a -infty.

Passo 2

Para simplificar, fatoramos x no numerador: x + xsin(x) = xl(1 + sin(x)r). Assim, para xneq 0 temos
x + xsin(x)x = 1 + sin(x)

Passo 3

Sabemos da teoria de funções trigonométricas que sin(x) oscila entre -1 e 1 sem convergir quando xto -infty. Logo, 1+sin(x) oscila entre 0 e 2 sem se aproximar de um único valor.
Como a expressão simplificada 1+sin(x) não converge a um único número quando xto -infty, o limite não existe.

Passo 4

Inferior e superior limites: liminfxto-infty(1+sin x)=0 e limsupxto-infty(1+sin x)=2, confirmando a oscilação.

Resposta

O limite não existe, pois a expressão simplificada 1 + sin(x) oscila entre 0 e 2 sem convergir.

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