Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que se o caminho no plano dado por y=x leva f(x,y) a zero quando x→0, então o limite bidimensional em (0,0) também seria zero. Isso envolve o conteúdo de limites de funções de duas variáveis e o fato de que para existir um limite em várias variáveis ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer trajetória.
Passo 2
Em limites de funções de várias variáveis, saber o valor ao longo de um único caminho não garante o valor geral do limite. Se existir o limite em (0,0), então ao longo de toda trajetória o valor teria que coincidir, mas a recíproca (saber só de uma trajetória) pode falhar.
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, vamos usar o contraexemplo
Passo 4
Primeiro, calculemos o limite ao longo de y=x. Substituindo na expressão:
Quando x→0 esse quociente tende a 0.
Passo 5
Agora, calculemos o limite ao longo de y=x^2. Substituindo:
Esse valor tende a 1/2, diferente de 0.
Passo 6
Como ao longo de dois caminhos temos limites distintos (0 e 1/2), o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) não existe. A afirmação, que exigia que esse limite fosse 0, é portanto falsa.
Resposta
Falsa