Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se lim x 0 f(x, x)=0, então lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0.

Passo 1

O enunciado diz que se o caminho no plano dado por y=x leva f(x,y) a zero quando x→0, então o limite bidimensional em (0,0) também seria zero. Isso envolve o conteúdo de limites de funções de duas variáveis e o fato de que para existir um limite em várias variáveis ele deve ser o mesmo ao longo de qualquer trajetória.

Passo 2

Em limites de funções de várias variáveis, saber o valor ao longo de um único caminho não garante o valor geral do limite. Se existir o limite em (0,0), então ao longo de toda trajetória o valor teria que coincidir, mas a recíproca (saber só de uma trajetória) pode falhar.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, vamos usar o contraexemplo
f(x,y)= x^2yx^4+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)

Passo 4

Primeiro, calculemos o limite ao longo de y=x. Substituindo na expressão:
f(x,x)=x^2cdot xx^4+x^2=x^3x^2(x^2+1)=xx^2+1
Quando x→0 esse quociente tende a 0.

Passo 5

Agora, calculemos o limite ao longo de y=x^2. Substituindo:
f(x,x^2)=x^2cdot x^2x^4+(x^2)^2=x^4x^4+x^4=12
Esse valor tende a 1/2, diferente de 0.

Passo 6

Como ao longo de dois caminhos temos limites distintos (0 e 1/2), o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) não existe. A afirmação, que exigia que esse limite fosse 0, é portanto falsa.

Resposta

Falsa

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