Determine se é possível definir
de modo que a função dada seja contínua.
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Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A questão pede para determinar se é possível definir $ f(0,0) $ de maneira que a função dada seja contínua. Para isso, vamos analisar o comportamento da função perto do ponto $ (0,0) $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (a, b) $ se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em $ (0,0) $, então devemos verificar se:
existe e é igual a algum valor específico que poderíamos definir para $ f(0,0) $.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função à medida que $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então podemos definir $ f(0,0) $ igual a esse valor para tornar a função contínua. Caso contrário, o limite não existe uniformemente, e não será possível fazer essa definição.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos aproximar $ (0,0) $ ao longo da linha $ y = 0 $:
Portanto, o limite nesse caminho é 1.
Segundo caminho: Agora, vamos aproximar $ (0,0) $ ao longo da linha $ x = 0 $:
Aqui, o limite é -1.
Passo 5
Observamos que os limites ao se aproximar de $ (0,0) $ por $ y = 0 $ e por $ x = 0 $ são diferentes (1 e -1, respectivamente). Isso significa que o limite da função $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ não existe de forma única.
Resposta
Não é possível definir $ f(0,0) $ de modo que a função seja contínua.