Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
© A linearização de
em torno de
é a função
.
© A linearização de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a linearização da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x + y} $ em torno do ponto
é igual a $ L(x, y) = x + y - \frac{1}{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de linearização de funções de duas variáveis, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearização. A linearização de uma função em torno de um ponto é basicamente a aproximação da função por uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) que melhor se ajusta à função naquele ponto. Para funções de duas variáveis, a linearização $ L(x, y) $ em torno de
é dada por:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular $ f(1, 1) $:
Então, $ f(1, 1) = \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Usando novamente a regra do quociente:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora que temos $ f(1,1) = \frac{1}{2} $, $ f_x(1,1) = \frac{3}{4} $ e $ f_y(1,1) = \frac{1}{4} $, podemos montar a linearização:
Simplificando:
Resposta
A afirmação é falsa. A linearização correta é $ L(x, y) = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y - \frac{1}{2} $, diferente da função apresentada no enunciado.