Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
© A linearização de f(x, y)=x^2 yx+y em torno de (1,1) é a função L(x, y)=x+y-12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a linearização da função $ f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x + y} $ em torno do ponto f(x, y) = x^2 yx + y é igual a $ L(x, y) = x + y - \frac{1}{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de linearização de funções de duas variáveis, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearização. A linearização de uma função em torno de um ponto é basicamente a aproximação da função por uma reta (ou plano, no caso de duas variáveis) que melhor se ajusta à função naquele ponto. Para funções de duas variáveis, a linearização $ L(x, y) $ em torno de L(x, y) é dada por:
(a, b)
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, avaliadas no ponto L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) .

Passo 3

Vamos calcular $ f(1, 1) $:
f(1, 1)
Então, $ f(1, 1) = \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
f
Usando a regra do quociente:
x
Simplificando:
fx(x, y) = partialpartial x ( x^2 yx + y )
Avaliando em fx(x, y) = (2x y)(x + y) - x^2 y(x + y)^2 = 2x y (x + y) - x^2 y(x + y)^2 :
fx(x, y) = 2x^2 y + 2x y^2 - x^2 y(x + y)^2 = x^2 y + 2x y^2(x + y)^2

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Usando novamente a regra do quociente:
fy(x, y) = partialpartial y ( x^2 yx + y )
Avaliando em fy(x, y) = x^2(x + y) - x^2 y(x + y)^2 = x^3 + x^2 y - x^2 y(x + y)^2 = x^3(x + y)^2 :
(1,1)

Passo 6

Agora que temos $ f(1,1) = \frac{1}{2} $, $ f_x(1,1) = \frac{3}{4} $ e $ f_y(1,1) = \frac{1}{4} $, podemos montar a linearização:
f(1,1) = 12
Simplificando:
fx(1,1) = 34

Resposta

A afirmação é falsa. A linearização correta é $ L(x, y) = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}y - \frac{1}{2} $, diferente da função apresentada no enunciado.

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