Use o conceito de linearização para obter uma aproximação para 5 raiz3.001^2+4.001^2.

Passo 1

A questão pede a gente usar linearização (aproximação afim) para aproximar a função f(x,y)=5√(x²+y²) em um ponto próximo a (3,4), já que estamos avaliando em x=3.001 e y=4.001. O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para usar linearização, lembramos que o polinômio afim L(x,y) em torno de (a,b) é dado por
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)
Aqui (a,b)=(3,4). Vamos precisar das derivadas parciais f_x e f_y.

Passo 3

A derivada parcial em relação a x é
fx(x,y)=5ddxl(raizx^2+y^2r)=5xraizx^2+y^2
e, analogamente,
fy(x,y)=5yraizx^2+y^2

Passo 4

Agora avaliamos em (3,4):
f(3,4)=5raiz3^2+4^2=5cdot5=25,
fx(3,4)=535=3, fy(3,4)=545=4

Passo 5

Como x=3.001 e y=4.001, temos Δx=0.001 e Δy=0.001. Então a aproximação fica:
L(3.001,4.001)=25+3cdot0.001+4cdot0.001=25+0.007=25.007

Resposta

Aproximadamente 25.007

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