Sobre a função
f(x, y)= x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Vale:
(d) f é contínua em (0,0).

Passo 1

A função é definida por partes como
f(x,y)=xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
A gente quer saber se ela é contínua em (0,0), ou seja, se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

De acordo com a definição de limite em duas variáveis, vamos verificar o comportamento de f(x,y) ao longo de caminhos diferentes. Por exemplo, tomando y=x temos:
limxto0f(x,x)=limxto0xcdot xx^2+x^2=limxto0x^22x^2=12
Agora, ao longo de y=0:
limxto0f(x,0)=limxto0xcdot0x^2+0=0

Passo 3

Como o limite ao longo de y=x é 1/2 e ao longo de y=0 é 0, o limite geral lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Logo, não é igual a f(0,0)=0, e a função não é contínua em (0,0).

Resposta

f não é contínua em (0,0)

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