Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
O plano tangente ao gráfico de
relativo ao ponto
é paralelo ao plano tangente ao gráfico de
relativo ao ponto
.
O plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se os planos tangentes aos gráficos de f(x,y)=x² cos(xy) no ponto (0,0,0) e de g(x,y)=x cos(y) no ponto (0,π/2,0) são paralelos. Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter as equações dos planos tangentes e comparar seus vetores normais.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de f. Temos
Passo 3
Avaliar f_x e f_y em (0,0):
$$
f_x(0,0)=2·0·\cos0-0^2·0·\sin0=0,$$
$$
f_y(0,0)=-0^3·\sin0=0.
z=0+0·(x-0)+0·(y-0)=0,$$
com vetor normal n_f=(0,0,1).
com vetor normal n_f=(0,0,1).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de g. Temos
Passo 5
Avaliar g_x e g_y em (0,π/2):
$$
g_x(0,π/2)=\cos(π/2)=0,$$
$$
g_y(0,π/2)=-0·\sin(π/2)=0.
z=0+0·(x-0)+0·\bigl(y-π/2\bigr)=0,$$
com vetor normal n_g=(0,0,1).
com vetor normal n_g=(0,0,1).
Passo 6
Como ambos os planos têm o mesmo vetor normal (0,0,1), eles são paralelos (na verdade, coincidem).
Resposta
Verdadeira