Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
O plano tangente ao gráfico de f(x, y)=x^2 cos (x y) relativo ao ponto (0,0,0) é paralelo ao plano tangente ao gráfico de g(x, y)= x cos (y) relativo ao ponto (0, pi2, 0).

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se os planos tangentes aos gráficos de f(x,y)=x² cos(xy) no ponto (0,0,0) e de g(x,y)=x cos(y) no ponto (0,π/2,0) são paralelos. Para isso, vamos usar derivadas parciais para obter as equações dos planos tangentes e comparar seus vetores normais.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Temos
fx(x,y)=partialpartial xl(x^2cos(xy)r)=2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
fy(x,y)=partialpartial yl(x^2cos(xy)r)=-x^3sin(xy)

Passo 3

Avaliar f_x e f_y em (0,0):
$$
f_x(0,0)=2·0·\cos0-0^2·0·\sin0=0,$$
$$
f_y(0,0)=-0^3·\sin0=0. fx(0,0)=2·0·cos0-0^2·0·sin0=0,é
z=0+0·(x-0)+0·(y-0)=0,$$
com vetor normal n_f=(0,0,1).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de g. Temos
gx(x,y)=partialpartial xl(xcos(y)r)=cos(y),
gy(x,y)=partialpartial yl(xcos(y)r)=-xsin(y)

Passo 5

Avaliar g_x e g_y em (0,π/2):
$$
g_x(0,π/2)=\cos(π/2)=0,$$
$$
g_y(0,π/2)=-0·\sin(π/2)=0. gx(0,π/2)=cos(π/2)=0,é
z=0+0·(x-0)+0·\bigl(y-π/2\bigr)=0,$$
com vetor normal n_g=(0,0,1).

Passo 6

Como ambos os planos têm o mesmo vetor normal (0,0,1), eles são paralelos (na verdade, coincidem).

Resposta

Verdadeira

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