Determine e faça o esborço das curvas de nível da função.
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Passo 1
Estamos com a função f(x,y)=2x²+y² e queremos desenhar suas curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c para cada constante c. Esse conteúdo está em nível de superfícies e curvas de nível em funções de duas variáveis.
Passo 2
Para cada valor constante c definimos a curva de nível pela condição
Analisando o valor de c vemos que: para c<0 não há solução real; para c=0 só ocorre em (0,0); para c>0 a equação representa uma elipse, pois é a soma de quadrados igual a uma constante positiva.
Passo 3
Para colocar no formato padrão de elipse, dividimos ambos os lados por c e reescrevemos:
que equivale a
Isso mostra que as curvas de nível são elipses centradas na origem, com semieixo no eixo x igual a a=
e semieixo no eixo y igual a b=
.
Passo 4
No esboço, basta desenhar várias elipses centradas na origem para alguns valores de c>0 (por exemplo c=1,2,4), observando que quanto maior c mais “aberta” fica a elipse.
Resposta
As curvas de nível são dadas por 2x²+y²=c (c≥0), ou seja, elipses centradas na origem de equação
, com semieixos
no eixo x e
no eixo y.