Determine e faça o esborço das curvas de nível da função.
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Passo 1
A função é z = x² – y², e o conteúdo aqui é curvas de nível: são as interseções da superfície com planos horizontais z = c projetadas no plano xy. Para resolver, vamos precisar escrever z = c e analisar cada caso de c.
Passo 2
Curvas de nível vêm de z = c, então basta colocar x² – y² = c. Essa é a equação geral das curvas de nível no plano xy.
Passo 3
Agora a gente analisa casos de c: para c = 0, x² – y² = 0 ⇒ x² = y² ⇒ y = ±x, ou seja, duas retas passando pela origem.
Passo 4
Para c > 0, x² – y² = c ⇒ x²/c – y²/c = 1, que é uma hipérbole com eixo principal no eixo x. Suas assíntotas são y = ±x.
Passo 5
Para c < 0, x² – y² = c ⇒ y²/(-c) – x²/(-c) = 1, que é uma hipérbole com eixo principal no eixo y, também com assíntotas y = ±x.
Passo 6
O esboço fica assim: no plano xy desenhamos várias hipérboles centradas na origem. Para c positivo elas abrem para a direita e esquerda; para c negativo abrem para cima e para baixo; no meio, a nível zero são as retas y = ±x.
Resposta
As curvas de nível são dadas por x² – y² = c. Para c = 0 são as retas y = ±x, para c > 0 são hipérboles abrindo ao longo do eixo x e para c < 0 são hipérboles abrindo ao longo do eixo y, todas com assíntotas y = ±x.