Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se z=f(x, y)=sen(x y), x=2 t e y(t)=t então d zd t= 4 t cos (2 t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma afirmação sobre derivadas está certa ou errada. Estamos lidando com funções de várias variáveis e a derivada em relação a uma variável específica. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
  • $ z = f(x, y) = \sin(x y) $
  • $ x = 2t $
  • $ y(t) = t $
Queremos encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $.

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia, temos que:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
z
  1. Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
x
  1. Derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
partial zpartial x = y cos(x y)
  1. Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
x

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = y cos(x y) cdot 2 + x cos(x y) cdot 1
Substituindo $ x = 2t $ e $ y = t $:
x = 2t

Passo 6

Simplificando:
dzdt = 2t cos(2t^2) + 2t cos(2t^2) = 4t cos(2t^2)

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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