Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
Se
e
então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se uma afirmação sobre derivadas está certa ou errada. Estamos lidando com funções de várias variáveis e a derivada em relação a uma variável específica. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
- $ z = f(x, y) = \sin(x y) $
- $ x = 2t $
- $ y(t) = t $
Queremos encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $.
Passo 3
Aplicando a Regra da Cadeia, temos que:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, além das derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
- Derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ x $ em relação a $ t $:
- Derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo $ x = 2t $ e $ y = t $:
Passo 6
Simplificando:
Resposta
A afirmação é verdadeira.