Dado que f(x, y) é diferenciável, fx(0,1)=1, fy(0,1)=2 e gamma(t)= (3 t^2, 4 t+1) calcule (f circ gamma)^prime(0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(gamma(t)) em t=0, sabendo que f é diferenciável, fx(0,1)=1, fy(0,1)=2 e gamma(t)=(3t^2,4t+1). Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes de gamma(t): x(t)=3t^2 e y(t)=4t+1. Calculamos as derivadas dessas funções: x'(t)=6t e y'(t)=4. Em especial, em t=0 temos x'(0)=0 e y'(0)=4.

Passo 3

A regra da cadeia para a composição f(gamma(t)) diz o seguinte:
(fcircgamma)'(t)=fxl(gamma(t)r)cdot x'(t)+fyl(gamma(t)r)cdot y'(t)

Passo 4

Agora avaliamos em t=0, usando gamma(0)=(0,1), fx(0,1)=1, fy(0,1)=2, x'(0)=0 e y'(0)=4:

Resposta

8

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