Suponha que z=f(x, y) é dada implicitamente por
x e^z+y ln (x+z)=0
. Calcule partial z(0,1)partial x.

Passo 1

O enunciado diz que a função z=f(x,y) satisfaz implicitamente a equação abaixo, e a tarefa é calcular partial z/partial x em (x,y)=(0,1).\n\nA matéria aqui é diferenciação implícita de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro a gente acha o valor de z no ponto (0,1). Basta substituir x=0 e y=1 na equação
0cdot e^z + 1cdot ln(0+z)=0 implies ln z=0 implies z=1

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente a relação
x e^z + yln(x+z)=0
em relação a x, tratando z=z(x,y). Temos:
ddx(x e^z)=e^z + x e^zpartial zpartial x,
ddxl(yln(x+z)r)=y1+partial zpartial xx+z

Passo 4

Somando e igualando a zero:
e^z + x e^z zx + y1+zxx+z=0

Passo 5

Agrupando os termos com zx=partial z/partial x:
zxl(x e^z + yx+zr) = -e^z - yx+z

Passo 6

Logo
zx = -e^z - yx+zx e^z + yx+z

Passo 7

Por fim, avaliamos em (x,y,z)=(0,1,1):
zx(0,1) = -e^1 - 1/10cdot e^1 + 1/1 = -e - 1

Resposta

-,\bigl(e+1\bigr)

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