Dado que
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função composta z em termos de x e y, onde z(x,y) = x^2 + y e x e y dependem dos parâmetros t e s por x(t,s) = t^2 + s e y(t,s) = t + s. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar calcular as derivadas ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂t e ∂y/∂t.
Passo 2
Primeiro, derivamos z em relação às variáveis intermediárias x e y. Como z = x^2 + y, temos
Passo 3
Em seguida, derivamos x e y em relação a t. Para x(t,s) = t^2 + s,
Para y(t,s) = t + s,
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Passo 5
Fazendo a substituição das derivadas achadas e avaliando em (t,s)=(1,1). Primeiro, x(1,1) = 1^2 + 1 = 2. Então:
Resposta
9