Dado que z=x^2+y, x(t, s)=t^2+s e y(t, s)=t+s, calcule partial zpartial t(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função composta z em termos de x e y, onde z(x,y) = x^2 + y e x e y dependem dos parâmetros t e s por x(t,s) = t^2 + s e y(t,s) = t + s. O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais, e vamos precisar calcular as derivadas ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂t e ∂y/∂t.

Passo 2

Primeiro, derivamos z em relação às variáveis intermediárias x e y. Como z = x^2 + y, temos
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 1

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a t. Para x(t,s) = t^2 + s,
partial xpartial t = 2t
Para y(t,s) = t + s,
partial ypartial t = 1

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t

Passo 5

Fazendo a substituição das derivadas achadas e avaliando em (t,s)=(1,1). Primeiro, x(1,1) = 1^2 + 1 = 2. Então:
partial zpartial t(1,1) = (2x)|x=2 cdot (2t)|t=1 + (1) cdot (1) = 2cdot2 cdot 2 + 1 = 8 + 1 = 9

Resposta

9

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