Dentre as funções a seguir, verifique quais são transformações lineares. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta é: essa aplicação é uma transformação linear? Devemos verificar se as propriedades que definem linearidade são satisfeitas usando as informações acima.]
Passo 2
Lembrete didático (passo a passo do conceito): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, e só se, duas propriedades valem para quaisquer vetores
e qualquer escalar
:
Explicando cada símbolo:
é a soma de vetores em
;
é a multiplicação de
por um escalar
; e
é a aplicação dada. Se ambas as igualdades ocorrerem para todos os vetores e escalares,
preserva combinações lineares e é linear.
Passo 3
Verificação da aditividade. Tomemos vetores genéricos
A soma é
Aplicando
à soma:
Agora calcule
:
Como as duas expressões coincidem para quaisquer
, temos
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário
e o vetor genérico
.
Multiplicando por :
Multiplicando por
Aplicando
:
Por outro lado,
Portanto, para todo
e todo vetor
,
Passo 5
Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas em geral,
preserva combinações lineares. Uma forma concreta de ver isso é escrever
como multiplicação por uma matriz
:
Aqui a matriz
é uma representação linear (uma transformação linear corresponde sempre a multiplicação por uma matriz, neste caso de tamanho
). Para efeito de intuição extra: o núcleo (kernel) de
é
e a imagem (range) é todo
; as dimensões obedecem ao teorema da dimensão (rank-nullity):
.]
Resposta
T é transformação linear.