Dentre as funções a seguir, verifique quais são transformações lineares. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad, \quad T(x, y)^{T}=x

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
T\!\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=x.
A pergunta é: essa aplicação é uma transformação linear? Devemos verificar se as propriedades que definem linearidade são satisfeitas usando as informações acima.]

Passo 2

Lembrete didático (passo a passo do conceito): uma aplicação T:V\to W entre espaços vetoriais é linear se, e só se, duas propriedades valem para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar c\in\mathbb{R}:
\text{(Aditividade)}\quad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\quad T(c\,u)=c\,T(u).
Explicando cada símbolo: u+v é a soma de vetores em V; c\,u é a multiplicação de u por um escalar c; e T(\cdot) é a aplicação dada. Se ambas as igualdades ocorrerem para todos os vetores e escalares, T preserva combinações lineares e é linear.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tomemos vetores genéricos
u=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]y_1\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}x_2\\[2pt]y_2\end{pmatrix}.
A soma é
u+v=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\[2pt]y_1+y_2\end{pmatrix}.
Aplicando T à soma:
T(u+v)=T\!\begin{pmatrix}x_1+x_2\\[2pt]y_1+y_2\end{pmatrix}=x_1+x_2.
Agora calcule T(u)+T(v):
T(u)+T(v)=x_1+x_2.
Como as duas expressões coincidem para quaisquer x_1,x_2,y_1,y_2, temos
T(u+v)=T(u)+T(v).]

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um escalar arbitrário c\in\mathbb{R} e o vetor genérico u=\begin{pmatrix}x_1\\[2pt]y_1\end{pmatrix}.
Multiplicando por c:
c\,u=\begin{pmatrix}c\,x_1\\[2pt]c\,y_1\end{pmatrix}.
Aplicando T:
T(c\,u)=T\!\begin{pmatrix}c\,x_1\\[2pt]c\,y_1\end{pmatrix}=c\,x_1.
Por outro lado,
c\,T(u)=c\,(x_1)=c\,x_1.
Portanto, para todo c e todo vetor u,
T(c\,u)=c\,T(u).]

Passo 5

Como as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas em geral, T preserva combinações lineares. Uma forma concreta de ver isso é escrever T como multiplicação por uma matriz 1\times 2:
T\!\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=x.
Aqui a matriz \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} é uma representação linear (uma transformação linear corresponde sempre a multiplicação por uma matriz, neste caso de tamanho 1\times2). Para efeito de intuição extra: o núcleo (kernel) de T é \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\} e a imagem (range) é todo \mathbb{R}; as dimensões obedecem ao teorema da dimensão (rank-nullity): 2=\text{rank}(T)+\text{nullity}(T)=1+1.]

Resposta

T é transformação linear.

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