Classifique as afirmativas abaixo onde A é uma matriz tal que \operatorname{Dim}(N(A))<\operatorname{Dim}\left(N\left(A^{T}\right)\right) :
I - A não pode ser injetiva.
II - A não pode ser sobrejetiva.
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) Ambas são falsas
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) Ambas são verdadeiras
Passo 1
O enunciado dá a condição \operatorname{Dim}(N(A))<\operatorname{Dim}\bigl(N(A^{T})\bigr) para uma matriz A, e pede que classifiquemos as afirmativas:
I - A não pode ser injetiva.
II - A não pode ser sobrejetiva.
Lista das informações relevantes fornecidas:
Temos uma matriz A (assumimos uma matriz sobre um corpo, por exemplo \mathbb{R}), de tamanho m\times n (ou seja, A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}).
A desigualdade entre as dimensões dos núcleos (espaços nulos) é \operatorname{Dim}(N(A))<\operatorname{Dim}\bigl(N(A^{T})\bigr).
Passo 2
Definindo termos e notação (explicando devagar, como numa aulinha):
N(A) é o núcleo (ou espaço nulo) de A: N(A)=\{x\in\mathbb{R}^{n}\mid A x=0\}. A dimensão de N(A) chamamos de nulidade de A.
N(A^{T}) é o núcleo de A^{T}: N(A^{T})=\{y\in\mathbb{R}^{m}\mid A^{T}y=0\}. A dimensão de N(A^{T}) é a nulidade de A^{T}.
A razão de fazer isso é que as dimensões dos núcleos estão relacionadas ao posto pela fórmula do posto-nulidade (rank-nullity), que vamos usar a seguir.
Passo 3
Aplico o Teorema do posto e nulidade (Rank–Nullity). Seja r=\operatorname{rank}(A). Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{T}), temos as duas igualdades:
Use a desigualdade dada. Substituindo as expressões acima na hipótese \operatorname{Dim}(N(A))<\operatorname{Dim}\bigl(N(A^{T})\bigr), obtemos
n-r < m-r.
Cancelando -r dos dois lados (isso é válido), chega-se a
n < m.
Interpretação simples: o número de colunas n é menor que o número de linhas m. Ou seja, A é uma matriz “mais alta que larga” (mais equações do que incógnitas).
Passo 5
Analisando a afirmativa I (injetividade). Lembrando: A é injetiva se, e somente se, \operatorname{nullity}(A)=0 (isto é, N(A)=\{0\}). Pela expressão \operatorname{nullity}(A)=n-r, a nulidade pode ser zero se e somente se r=n (posto igual ao número de colunas), o que é possível mesmo quando n<m. Exemplo concreto para fixar a ideia:
que é 3\times2 (m=3,\;n=2). Aqui \operatorname{rank}(A)=2, então \operatorname{nullity}(A)=n-r=2-2=0 (logo A é injetiva), enquanto \operatorname{nullity}(A^{T})=m-r=3-2=1. Esse exemplo satisfaz \operatorname{Dim}(N(A))<\operatorname{Dim}(N(A^{T})) e mostra que A pode ser injetiva. Portanto a afirmativa I " A não pode ser injetiva" é falsa.]
Passo 6
Analisando a afirmativa II (sobrejetividade). Lembrando: A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é sobrejetiva se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=m (posto igual ao número de linhas), pois então a imagem de A tem dimensão m e alcança todo \mathbb{R}^{m}. Mas já vimos que n<m. E o posto satisfaz \operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}=\;n. Assim
\operatorname{rank}(A)\le n < m,
ou seja, \operatorname{rank}(A) nunca pode atingir m. Logo A não pode ser sobrejetiva. Portanto a afirmativa II " A não pode ser sobrejetiva" é verdadeira.
Passo 7
Resumo e correspondência com as alternativas: I é falsa e II é verdadeira. Isso corresponde à alternativa (c).